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利用者:善積錬太郎/sandbox/e進法

e 進法とは,あるデータ量を扱うに伴って要求される記憶素子の数が最小となるような,つまり最も効率性の高い記数法である.但し, ネイピア数である.

e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

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数を ( )進法で表すとする.
この数一を表すのに 個の記憶素子が要求されるので, ( 定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 は,

と表せる.
また, 進法で表された 桁の数の情報量 ( は定数, )について,

従って, の情報量を 進法の 桁で表すのに必要な記憶素子の数 は,

ここで,

から, 下に凸凸関数であるので, を最小にする の値を求めるには, 微分係数が0となるような の値を求めれば良い.

のとき, であるので,

以上より,最も高効率な記数法は 進法である.

e進法の有用性

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であるので,現実的には三進法が最も高効率な自然数位取り記数法である.

今日、日常で使用される位取り記数法は二進法十進法六十進法が一般的だが、これらは、電流を通すか通さないかの2通りの状態を示す半導体の性質や人間が計10本あること、60が1~6の全ての自然数を約数にもつ高度合成数であること等に由来する。

ここで、人間の手を例にとると、ある指を完全に伸ばした状態を0関節を少し屈折させ、指をかぎ状に曲げた状態を1、指を完全に曲げ、に入れ込んだ状態を2、とおけば、指一本の三状態を基数とした三進法で表せる。

通常の十進法では両手を使っても1~10までしか数え上げることは出来ないが、上記の方法では1~59048までの実に6万通り近くの数を両手を用いて数え上げることが出来る。

参考文献

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  • 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
  • 桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所

関連項目

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