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ゼータ関数

　ゼータ関数について, MathWorldの"RiemannZetaFunction"[1]の式の（21）に

$\zeta (s)={1 \over {1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over {2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{(-1)^{k}}{n \choose k}{(k+1)^{-s}}$ 　　$\left(\forall s\in \mathbb {C} -\{1\}\right)$

がある. これはKnoppによって1930年頃に予想され, 1930年にHelmut Hasse（外部リンク[2] or en）が証明した.
そしてSondowによって1994年に再発見されたという経緯がある.

ゼータ関数を、s＝1を除く複素平面全体に解析接続したものである. （正則関数の項を参照してください.）

とか書いてみる.

特殊値

上の式から
"1+1+1+1+…="$\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$
"1+2+3+4+…="$\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}$
と, なんとなくわかる... (実際には, 二項係数について若干の数学的帰納法を用いる. )

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--Keiichi Maehara 2009年3月26日 (木) 09:04 (UTC)