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利用者:チョコレート10/sandbox10301

序

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https://en-two.iwiki.icu/wiki/Bell_triangle

ベル三角形

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ベル三角形の構築

数学において、ベル三角形はパスカルの三角形に類似した数の三角形であり、その値は与えられた要素が最大の単集合である集合の分割を数える。これはベル数との密接な関連にちなんで名付けられ[1]、ベル数は三角形の両側に見出すことができ、さらにこれはEric Temple Bellにちなんで名付けられている。ベル三角形はCharles Sanders Peirce (1880)を始めとし、Alexander Aitken (1933)やCohn et al. (1962)を含む複数の著者によって独立に発見されており、そのためエイトケンの配列またはパースの三角形とも呼ばれている。[2]

値

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異なる出典では、同じ三角形を異なる向きで示しており、互いに反転しているものもある。[3]パスカルの三角形に類似した形式で、また整数列オンライン大辞典にリストされている順序で、最初の数行は以下のようになる：[2] 

                    1
                 1     2
              2     3     5
           5     7    10    15
       15    20    27    37    52
    52    67    87   114   151   203
203   255   322   409   523   674   877

構築

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ベル三角形は、最初の位置に数字1を配置することで構築される。その配置の後、各行の最左値は、前の行の最右値をコピーして埋められる。各行の残りの位置は、パスカルの三角形の規則に非常に似た規則で埋められる：その位置の左上と左の2つの値の和である。

したがって、最上行に数字1を最初に配置した後、それはその行の最後の位置となり、次の行の最左位置にコピーされる。三角形の3番目の値である2は、その上左と左にある2つの前の値の和である。その行の最後の値として、2は3行目にコピーされ、このプロセスが同様に続く。​​​​​​​​​​​​​​​​

組合せ論的解釈

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三角形の左右の辺にあるベル数自体は、有限集合を分割する方法の数、あるいは同等に、その集合上の同値関係の数を数える。

Sun & Wu (2011)は、三角形の各値に対して以下の組合せ論的解釈を提供している。SunとWuに従い、An,kを三角形のn番目の行の左からk番目の位置にある値とし、三角形の頂点をA1,1と番号付けする。するとAn,kは、{1, 2, ..., n + 1}の集合の分割のうち、要素k + 1が唯一の単一要素集合であり、それより大きな番号の各要素が複数要素の集合に属している分割の数を数える。つまり、k + 1は分割の中で最大のシングルトンでなければならない。

例えば、三角形の3行目の中央にある数字3は、彼らの表記ではA3,2とラベル付けされ、{1, 2, 3, 4}の分割のうち、3が最大のシングルトン要素である分割の数を数える。そのような分割は3つある：

{1}, {2, 4}, {3}
{1, 4}, {2}, {3}
{1, 2, 4}, {3}

これら4つの要素の残りの分割は、3が単独の集合にないか、より大きなシングルトン集合{4}を持つかのいずれかであり、いずれの場合もA3,2には数えられない。

同じ表記法で、Sun & Wu (2011)は三角形を他の値の左側にもう一つの対角線で拡張し、以下の数列を追加している：

An,0 = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ...オンライン整数列大辞典の数列 A000296

これは、同じn + 1個の項目の集合の分割のうち、最初の項目のみがシングルトンである分割の数を数えている。彼らの拡張された三角形は[4] 

                       1
                    0     1
                 1     1     2
              1     2     3     5
           4     5     7    10    15
       11    15    20    27    37    52
    41    52    67    87   114   151   203
162   203   255   322   409   523   674   877

この三角形は、元のベルの三角形と同様に構築できるが、各行の開始に異なるルールを使用する：各行の最左値は、前の行の最右値と最左値の差である。

同じ拡張された三角形の数値に対する別の、より技術的な解釈はQuaintance & Kwong (2013)によって与えられている。

対角線と行の和

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ベル三角形の最左と最右の対角線は、両方とも1, 1, 2, 5, 15, 52, ...のベル数の数列を含んでいる（最右対角線の場合、初期要素が欠けている）。最右対角線に平行な次の対角線は、連続する2つのベル数の差分の数列1, 3, 10, 37, ...を与え、その後の各平行対角線は前の対角線の差分の数列を与える。

このように、Aitken (1933)が観察したように、この三角形はグレゴリー・ニュートン補間公式を実装していると解釈できる。この公式は、連続する整数での値の数列から、逐次差分を使用して多項式の係数を求める。この公式は、ベル数を定義するのに使用できる漸化式と密接に類似している。

三角形の各行の和、1, 3, 10, 37, ...は、三角形の右から2番目の対角線に現れる同じ第一差分の数列である。[5] この数列のn番目の数は、n個の要素を部分集合に分割し、その部分集合の1つを他と区別する方法の数も数える。例えば、3つの項目を部分集合に分割し、その後部分集合の1つを選ぶ方法は10通りある。[6]

関連する構成

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ベル数が片側にのみあり、各数が前の行の近くの数の重み付き和として決定される異なる数の三角形が、Aigner (1999)によって記述された。

注釈

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  1. ^ Gardner (1978)によれば、この名称はJeffrey Shallitによって提案され、彼の同じ三角形に関する論文は後にShallit (1980)として出版された。Shallitは三角形の定義についてCohn et al. (1962)に言及しているが、CohnらはこのBeauの三を命名していない。
  2. ^ a b Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A011971 (Aitken's array)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. {{cite web}}: Cite webテンプレートでは|access-date=引数が必須です。 (説明)
  3. ^ 例えば、Gardner (1978)は、ここで示されているものとは異なる2つの向きを示している。
  4. ^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A106436". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. {{cite web}}: Cite webテンプレートでは|access-date=引数が必須です。 (説明)
  5. ^ Gardner (1978).
  6. ^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A005493". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. {{cite web}}: Cite webテンプレートでは|access-date=引数が必須です。 (説明).

参考文献

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外部リンク

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カテゴリ

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