リーマン・シーゲルの公式 とは、リーマンゼータ関数 に関する近似関数等式とも呼ばれ、二つの有限なディリクレ級数と誤差項の和によって表される。この公式はSiegel によって、1850年代のBernhard Riemann (1859 ) の未出版の遺稿から発見された。Siegelはそれを、Riemann–Siegel formula (英語版 ) とゼータ関数の路に沿う積分 から正確に導いた。この公式はリーマンゼータ関数の具体的な近似値を計算する際にしばしば用いられ、さらに計算速度を上げるためにOdlyzko–Schönhage algorithm (英語版 ) と組み合わせて使われることもある。リーマンゼータ関数
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
の変数
s
{\displaystyle s}
の実部が
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
の場合には式が簡便になり、いわゆるZ function (英語版 ) と呼ばれる式に変形することによって利便性が向上する。
リーマン・シーゲルの公式は
N
{\displaystyle N}
と
M
{\displaystyle M}
が負でない整数のに対して次のように表される。
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
N
1
n
s
+
γ
(
1
−
s
)
∑
n
=
1
M
1
n
1
−
s
+
R
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}
ここで、
γ
(
s
)
=
π
1
2
−
s
Γ
(
s
2
)
Γ
(
1
2
(
1
−
s
)
)
{\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}}
はζ (s ) = γ (1-s ) ζ (1 − s ) にも現れる因子であり、
R
(
s
)
=
−
Γ
(
1
−
s
)
2
π
i
∫
(
−
x
)
s
−
1
e
−
N
x
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx}
は、始点と終点を+∞とした周回積分であり、その積分路領域には高々絶対値 2πM の特異点を持つ。つまり、この項を近似関数等式の誤差項と考え、その大きさの推定値を与える。Siegel とHarold_Edwards_(mathematician) (英語版 ) はこの積分に最急降下法 を用いて、Im(s )の負のべき乗級数のような誤差項R (s )の漸近を拡張した[訳語疑問点 ] 。機械計算する場合、通常
s
{\displaystyle s}
の実部は
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
であり、正の整数NとMは約 (2π Im(s ))1/2 が採用される。Gabckeはリーマン・シーゲルの公式 の誤差の見積もりを向上させた。
リーマンは
∫
0
↘
1
e
−
i
π
u
2
+
2
π
i
p
u
e
π
i
u
−
e
−
π
i
u
d
u
=
e
i
π
p
2
−
e
i
π
p
e
i
π
p
−
e
−
i
π
p
{\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}
を示した。ここで積分路は0から1を勾配−1の直線にて通る (Edwards 1974 , 7.9)。
彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
∫
0
↙
1
x
−
s
e
π
i
x
2
e
π
i
x
−
e
−
π
i
x
d
x
+
π
−
1
−
s
2
Γ
(
1
−
s
2
)
∫
0
↘
1
x
s
−
1
e
−
π
i
x
2
e
π
i
x
−
e
−
π
i
x
d
x
{\displaystyle \pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx}
Berry, Michael V. (1995), “The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders”, Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences 450 (1939): 439–462, doi :10.1098/rspa.1995.0093 , ISSN 0962-8444 , MR 1349513 , Zbl 0842.11030
Edwards, H.M. (1974), Riemann's zeta function , Pure and Applied Mathematics, 58 , New York-London: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0 , Zbl 0315.10035
Gabcke, Wolfgang (1979) (German), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel , Georg-August-Universität Göttingen, Zbl 0499.10040 , http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0022-6013-8
Patterson, S.J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-33535-3 , Zbl 0641.10029
Siegel, C. L. (1932), “Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2 : 45–80, JFM 58.1037.07 , Zbl 0004.10501 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag , 1966.
リーマンゼータ関数の部分和 とは、無限級数であるリーマンゼータ関数 を部分和とした
P
s
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
k
−
s
{\displaystyle P_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{-s}}
である。当然、リーマンゼータ関数とは
lim
n
→
∞
P
s
(
n
)
=
ζ
(
s
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{s}(n)=\zeta (s)}
という関係にある。
リーマンゼータ関数の部分和 は、
s
=
σ
+
i
t
{\displaystyle s=\sigma +it}
とした場合に
P
s
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
k
−
σ
e
−
i
t
ln
k
=
∑
k
=
1
n
k
−
σ
{
cos
(
−
t
ln
k
)
+
i
sin
(
−
t
ln
k
)
}
{\displaystyle P_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{-\sigma }e^{-it\ln k}=\sum _{k=1}^{n}k^{-\sigma }\{\cos(-t\ln k)+i\sin(-t\ln k)\}}
によって、
n
{\displaystyle n}
が整数であれば全ての
s
{\displaystyle s}
に対して初等的に求めることができる。
リーマンゼータ関数の部分和 を
n
{\displaystyle n}
を順次変化させて複素平面上にプロットしていくと、
n
{\displaystyle n}
が増加すると螺旋状の軌跡が現れ始める。これは
t
{\displaystyle t}
と関係があり、
n
≥
t
/
π
{\displaystyle n\geq t/\pi }
の場合は対数螺旋 に近似する軌跡が現れ、
t
/
π
(
2
j
−
3
)
>
n
≥
t
/
π
(
2
j
−
1
)
(
j
=
1
,
2
,
3
,
4
,
⋯
)
{\displaystyle t/\pi (2j-3)>n\geq t/\pi (2j-1)\quad (j=1,2,3,4,\cdots )}
の場合にはコルニュ螺旋 に近似する軌跡が現れる。
P
s
(
n
)
{\displaystyle P_{s}(n)}
に関して現れる対数螺旋に近似した軌跡の中心を
C
s
,
0
{\displaystyle C_{s,0}}
とし、またコルニュ螺旋の先に現れる (
n
{\displaystyle n}
が小さい側に現れる)方の中心を
C
s
,
j
{\displaystyle C_{s,j}}
とすると、次のような特徴が観測できる。
C
s
,
0
=
ζ
(
s
)
{\displaystyle C_{s,0}=\zeta (s)}
C
s
,
k
{\displaystyle C_{s,k}}
と
C
s
,
k
+
1
{\displaystyle C_{s,k+1}}
の距離は
k
σ
−
1
(
t
2
π
)
1
2
−
σ
{\displaystyle k^{\sigma -1}({\frac {t}{2\pi }})^{{\frac {1}{2}}-\sigma }}
、偏角は
−
(
t
ln
t
2
π
k
−
k
π
t
k
π
+
π
−
π
4
)
=
t
ln
2
π
k
t
+
t
−
3
4
π
{\displaystyle -(t\ln {\frac {t}{2\pi k}}-k\pi {\frac {t}{k\pi }}+\pi -{\frac {\pi }{4}})=t\ln {\frac {2\pi k}{t}}+t-{\frac {3}{4}}\pi }
ただし、
s
=
σ
+
i
t
{\displaystyle s=\sigma +it}
以上の特徴から、リーマンゼータ関数の部分和 の軌跡を遡る軌跡を示す関数を作ることができ、
∑
k
=
1
n
k
σ
−
1
(
t
2
π
)
1
2
−
σ
⋅
exp
i
(
t
ln
2
π
k
t
+
t
−
3
4
π
)
=
∑
k
=
1
n
k
s
−
1
(
t
2
π
)
1
2
−
s
⋅
exp
i
(
t
−
3
4
π
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{\sigma -1}\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{{\frac {1}{2}}-\sigma }\cdot \exp i(t\ln {\frac {2\pi k}{t}}+t-{\frac {3}{4}}\pi )=\sum _{k=1}^{n}k^{s-1}\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{{\frac {1}{2}}-s}\cdot \exp i(t-{\frac {3}{4}}\pi )}
となるが、
σ
=
1
2
{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}}
のときには、
∑
k
=
1
n
k
−
s
¯
⋅
exp
i
(
t
−
3
4
π
−
t
ln
(
t
2
π
)
)
=
P
s
¯
(
n
)
⋅
exp
i
(
t
−
3
4
π
−
t
ln
(
t
2
π
)
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{-{\overline {s}}}\cdot \exp i(t-{\frac {3}{4}}\pi -t\ln \left({\frac {t}{2\pi }}\right))=P_{\overline {s}}(n)\cdot \exp i(t-{\frac {3}{4}}\pi -t\ln \left({\frac {t}{2\pi }}\right))}
となり、
P
s
(
n
)
{\displaystyle P_{s}(n)}
と線対称の関係であることが解る。
Carl Erickson, A Geometric Perspective on the Riemann Zeta Function's Partial Sums , 2005.
P. Borwein, G. Fee, R. Ferguson, and A. van der Waall, Zeros of partial sums of the Riemann zeta-function , Exp. Math. 16 (2007), 21-40.
S. M. Gonek and A. H. Ledoan, Zeros of partial sums of the Riemann Zeta-function , Int. Math. Res. Not. 2010, 1775-1791.
Lorenzo Menici,Zeros of the Riemann Zeta-function on the critical line ,2012
リーマンゼータ関数 を部分和にした
P
s
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
k
−
s
{\displaystyle P_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{-s}}
を複素平面上にプロットした時、
s
{\displaystyle s}
の虚部に対して
n
{\displaystyle n}
が十分大きくなると対数螺旋 のような軌跡を描く。
その軌跡の中心は元となったゼータ関数の値に近似していることが観測されており[ 1] 、この方法で
s
{\displaystyle s}
の虚部を十分小さくするとやはり
−
1
12
{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}
へ近似する。
^ Carl,Erickson(2005),A Geometric Perspective on the Riemann Zeta Function's Partial Sums