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( S 1 , μ 1 ) {\displaystyle (S_{1},\mu _{1})} , ( S 2 , μ 2 ) {\displaystyle (S_{2},\mu _{2})} はσ-有限な測度空間で、関数 F : S 1 × S 2 → R {\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb {R} } は可測とする。 F ≥ 0 {\displaystyle F\geq 0} かつ 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } ならば次が成り立つ： [ ∫ S 1 ( ∫ S 2 F ( x , y ) μ 2 ( y ) ) p μ 1 ( x ) ] 1 p ≤ ∫ S 2 [ ∫ S 1 F ( x , y ) p μ 1 ( x ) ] 1 p μ 2 ( y ) {\displaystyle \left[\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}F(x,y)\,\mu _{2}(y)\right)^{p}\mu _{1}(x)\right]^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{2}}\left[\int _{S_{1}}F(x,y)^{p}\,\mu _{1}(x)\right]^{\frac {1}{p}}\mu _{2}(y)}
1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } であって、ほとんど全ての y ∈ S 2 {\displaystyle y\in S_{2}} に対して F ( ⋅ , y ) ∈ L p ( S 1 ) {\displaystyle F(\cdot ,y)\in L^{p}(S_{1})} 、かつ関数 y ↦ ‖ F ( ⋅ , y ) ‖ p {\displaystyle y\mapsto \|F(\cdot ,y)\|_{p}} は L 1 ( S 2 ) {\displaystyle L^{1}(S_{2})} に属するならば、ほとんど全ての x ∈ S 1 {\displaystyle x\in S_{1}} に対して F ( x , ⋅ ) ∈ L 1 ( S 2 ) {\displaystyle F(x,\cdot )\in L^{1}(S_{2})} 、かつ関数 x ↦ ∫ F ( x , y ) d μ 2 ( y ) {\displaystyle x\mapsto \int F(x,y)d\mu _{2}(y)} は L p ( S 1 ) {\displaystyle L^{p}(S_{1})} であって、次の不等式が成り立つ[1]：
‖ ∫ S 2 F ( ⋅ , y ) d μ 2 ( y ) ‖ p ≤ ∫ S 2 ‖ F ( ⋅ , y ) ‖ p d μ 2 ( y ) {\displaystyle \left\|\int _{S_{2}}F(\cdot ,y)d\mu _{2}(y)\right\|_{p}\leq \int _{S_{2}}\left\|F(\cdot ,y)\right\|_{p}d\mu _{2}(y)}
, 
はσ-有限な測度空間で、関数 
は可測とする。 
かつ 
ならば次が成り立つ：![{\displaystyle \left[\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}F(x,y)\,\mu _{2}(y)\right)^{p}\mu _{1}(x)\right]^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{2}}\left[\int _{S_{1}}F(x,y)^{p}\,\mu _{1}(x)\right]^{\frac {1}{p}}\mu _{2}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd68c7d698a4f84a37744160a843e1136bd4c22b)
であって、ほとんど全ての 
に対して 
、かつ関数 
は 
に属するならば、ほとんど全ての 
に対して 
、かつ関数 
は 
であって、次の不等式が成り立つ[1]：
