利用者:せまりき/3

ジャガー数 とは、自称数学者ジャガーが作成した巨大数である。

定義

f[0](a) = a + 1
f[b](a) = f[b-1]^a(a)
f[X](a) = f[a](a)（ただし、定義2が優先される）

このとき、f[X↑↑↑X](3) を「ジャガー数 10.0」とする。

解説

定義1は簡単である。

f[0](3) = 3 + 1 = 4

定義2はチェーン表記で近似することができる。

f[1](a) = a + a = a * 2

f[2](a) ≒ 2^a

f[3](a) ≒ 2↑↑a

f[4](a) ≒ 2↑↑↑a

f[b](a) ≒ 2→a→b

定義3も問題なかろう。

f[X](a) ≒ 2→a→a

次はこの X を鍛えていく。

f[X+b](a) ≒ 2→a→a→b

f[X+X](a) ≒ 2→a→a→a ≒ f[X*2](a)

f[X*b](a) ≒ a→→b

f[X*X](a) ≒ a→→a ≒ f[X²](a)

f[X³](a) ≒ a↓a↓a

f[X⁴](a) ≒ ↑a(a,a,a)

この時点で矢印回転表記では表現できなくなる。BEAF で近似すると次のようになる。

f[b](a) ≒ {a,a,b}

f[X](a) ≒ {a,a,a}

f[X+b](a) ≒ {a,a,b,2}

f[X+X](a) ≒ {a,a,a,2} ≒ f[X*2](a)

f[X*b](a) ≒ {a,a,a,b}

f[X*X](a) ≒ {a,a,a,a} ≒ f[X²](a)

f[X^b](a) ≒ {a,b}₂

f[X^X](a) ≒ {a,a}₂ ≒ f[X↑↑2](a)

f[X↑↑b](a) ≒ レベル 2 の a↑↑b

f[X↑↑X](a) ≒ レベル 2 の a↑↑a ≒ ε₀

f[X↑↑↑b](a) ≒ レベル 2 の a↑↑↑b

f[X↑↑↑X](a) ≒ レベル 2 の a↑↑↑a ≒ ζ₀

つまり、ジャガー数は ζ₀ 程度の大きさとなる。

ジャガー数を超えて

ジャガー数を超えるには、X を鍛えていけばよい。まず、

X↑↑↑X ≒ f[4](X)

と近似できることに注目し、この X を鍛えていく。

f[0](X) ≒ X + 1

f[1](X) ≒ X * 2

f[2](X) ≒ 2^X

f[3](X) ≒ 2↑↑X ≒ ε₀

f[4](X) ≒ 2↑↑↑X ≒ ζ₀

この時点で、ジャガー数に到達する。

f[X](X) ≒ {X,X,X}

f[X+1](X) ≒ {X,X,1,2} ≒ Γ₀

f[X+X](X) ≒ {X,X,X,2}

f[X*X](X) ≒ {X,X,X,X}

f[X^X](X) ≒ {X,X}₂ ≒ θ(Ω^ω) = 小ヴェブレン順序数

f[X^X+1](X) ≒ {X,X,2}₂ ≒ θ(Ω^Ω) = 大ヴェブレン順序数

f[X↑↑X](X) ≒ レベル 2 の X↑↑X ≒ θ(ε_Ω+1) = バッハマン・ハワード順序数

整理

ここで、整理を行うと、ジャガー数は、

f[4](X)

と表現でき、バッハマン・ハワード順序数は、

f[X↑↑X](X) ≒ f[ f[3](X) ](X)

と表現できる。ここで、

f[0,b](a) = f[b](a)

f[c,b](a) = f[c-1, f[b](a) ](a)

という新しい定義を追加することによって、ジャガー数を、

f[0,4](X)

と表現でき、バッハマン・ハワード順序数は、

f[1,3](X)

と表現できる。次はこの f[1,b](X) を見ていく。

f[1,0](X) ≒ f[ f[0](X) ](X) ≒ f[X+1](X) ≒ {X,X,1,2}

f[1,1](X) ≒ f[X+X](X) ≒ {X,X,X,2}

f[1,2](X) ≒ f[X^X](X) ≒ {X,X}₂ ≒ ヴェブレン順序数

f[1,3](X) ≒ f[X↑↑X](X) ≒ レベル 2 の X↑↑X ≒ バッハマン・ハワード順序数

f[1,X](X) ≒ f[ {X,X,X} ](X)

f[1,X+1](X) ≒ f[ {X,X,1,2} ](X) ≒ θ(Ω₂)

f[1,X^X](X) ≒ f[ {X,X}₂ ](X) ≒ θ(Ω₂^ω)

では、f[2,b](X) はどうか。

f[2,0](X) ≒ f[1, f[0](X) ](X) ≒ f[1,X+1](X) ≒ f[ {X,X,1,2} ](X)

f[2,1](X) ≒ f[1,X+X](X) ≒ f[ {X,X,X,2} ](X)

f[2,2](X) ≒ f[1,X^X](X) ≒ f[ {X,X}₂ ](X)

一般に、

f[c,2](X) ≒ {X,c/2} ≒ θ(Ω_c)

f[X,2](X) ≒ {X,X/2} ≒ θ(Ω_ω)

となる。更に、

f[1,0,0](X) ≒ f[X+1,0](X) ≒ {X,X,2/2}

f[1,0,1](X) ≒ f[X+X,1](X) ≒ {X,X,X/2}

f[1,0,2](X) ≒ f[X^X,2](X) ≒ {X,X(/1)2} = X&&X

f[1,0,3](X) ≒ f[X↑↑X,3](X) ≒ X↑↑X&&X

となり、ジャガー関数の限界は、

f[XがX個](X) ≒ {X,X(1)/2} = {L,X}_X,X

となる。また、

f+1[0](a) = f[aがa個](a)

と拡張すれば更に大きくなる。L(a) = {L,a}_a,a とすることによって、

f+1[0](a) = L(a)

f+1[1](a) = L^a(a) = a @ a