利用者:ぐしー/sandbox/標準型ゲーム

標準型ゲーム (ひょうじゅんがたゲーム、英: normal form game) とは、ゲーム理論におけるゲームの表現形式の一つであり、プレイヤー、戦略、利得の3つ組で表現されるゲームである。正規形ゲーム、戦略型ゲーム（英: strategic form game）とも呼ばれる。標準型ゲームは協力、非協力を問わずゲームを表現できる。ただし、通常はゲームの構造を明らかにするために、協力ゲームには特性関数型を用い、逐次手番の非協力ゲームには展開型を用いることが多く、標準型ゲームを用いるのは同時手番の非協力ゲームであることが多い。プレイヤー及び戦略の数が有限のとき、ナッシュ均衡および摂動完全均衡、プロパー均衡が混合戦略の範囲で存在する。

定義

プレイヤーの数と戦略の数が有限の有限ゲーム (英: finite games) である場合の定義の一例を挙げる。

一つの同じゲームに参与する主体をプレイヤー (英: players) といい、その数が n であるとき、プレイヤーそれぞれの立場を n 以下の自然数に対応付けて I = {1, 2, ... , n} でその集合を表す。各プレイヤー i ∈ I ごとの振る舞いの選択肢を(純粋)戦略 (英: (pure) strategies) と呼び、その集合を S_i で表す。全プレイヤーの戦略の集合の直積 S = ∏_i∈I S_i を(純粋)戦略空間 (英: (pure-)strategy space) という。これは起こりうる全プレイヤーの純粋戦略の組み合わせ、すなわちゲームの結果の全体であり、それぞれの戦略の組を(純粋)戦略プロファイル (英: (pure-)strategy profiles) という。ゲームの結果によってプレイヤーが得る利益を利得 (英: payoff) といい、各純粋戦略プロファイル s ∈ S と各プレイヤー i の利得との対応を(純粋戦略)利得関数 (英: (pure-strategy) payoff function) π_i : S → ℝ で表す。全プレイヤーの利得関数の組 π : S → ℝⁿ, s ↦ (π_i(s))_i∈I を結合(純粋戦略)利得関数 (英: combined (pure-strategy) payoff function)という。通常、標準型ゲームは3つ組 G = (I, S, π) で表される。

同値な別の表現として G = (S₁, S₂, ... , S_n; π) が用いられることがある。

2人ゲームの利得双行列表現

I = {1, 2} の場合は利得行列 (英: payoff matrices) の組でゲームを表現できる。プレイヤー i の戦略の数を m_i とすると、プレイヤー i の利得行列とは A_i = (π_i(h, k))_{m1×m2,(h∈S1,k∈S2)} である。特に、以下のように双行列 (英: bimatrix) で表すことが多い。

プレイヤー2 プレイヤー1	戦略1	⋯	戦略m2
戦略1	π1(1, 1), π2(1, 1)	⋯	π1(1, m2), π2(1, m2)
⋮	⋮	⋱	⋮
戦略m1	π1(m1, 1), π2(m1, 1)	⋯	π1(m1, m2), π2(m1, m2)

対称ゲームの場合、プレイヤー2の利得行列はプレイヤー1の利得行列の転置行列であるから、特に進化ゲーム理論などではプレイヤー1の利得行列のみでゲームを表すことがある。

支配関係と支配戦略

→詳細は「支配戦略」を参照

最適反応とナッシュ均衡

→詳細は「最適反応」および「ナッシュ均衡」を参照

他の表現形式との関係

展開型ゲーム

特性関数型ゲーム

脚注

文献目録

• 渡辺, 隆裕『ゼミナール ゲーム理論入門』日本経済新聞出版、2008年4月7日。ISBN 978-4-532-13346-7。 
• Weibull, Jörgen『進化ゲームの理論』大和瀬達二 監訳、三澤哲也/赤尾健一/大阿久博/横尾昌紀 訳、文化書房博文社、1998年3月31日（原著1995年）。ISBN 4-8301-0820-7。