利用者:きたし/レンズの公式
レンズの公式（レンズのこうしき）は幾何光学における公式であり、像と物について
- 焦点距離 f
- 物側主点からみた物面の位置 s
- 像側主点からみた像面の位置 s'
の関係が近軸領域では 1/f + 1/s = 1/s' と表されるというものである。ただし s, s' は、光軸上の入射光の向きを正として測る（つまり通常 s は負であり、 s' は実像では正、虚像では負となる）。また、焦点距離 f は凹レンズなどの発散系では負とする。物が無限遠にある場合は左辺第2項を0、像が無限遠方の虚像である場合は右辺を0として成立する。
上の公式は、位置の正負を考えないでよいように
- 物面と物側主点との間隔 a (= |s|)
- 像面と像側主点との間隔 b (= |s' |)
とし、より広く知られる 1/f = 1/a + 1/b という形で表されることも多い。
また、数学的に等価な別の表現として
- 物側焦点と物面との距離 z
- 像側焦点と像面との距離 z'
を用いて -zz' = f2 と表すこともでき、これはニュートン形式のレンズの公式と呼ばれる。
これらの公式は単レンズだけでなく凹面鏡・凸面鏡や、複数のレンズ・鏡を組み合わせた光学系にも（主点・焦点が定義できるならば）適用できる。
証明
[編集]以下の節ではまず、ニュートン形式のレンズの式が成り立つことを示す。 その後の節（#ニュートン形式と分数形式）でニュートン形式と分数形式が等価であることを示す。
図中、F は物側焦点、F' は像側焦点、P は物側主点、P は像側主点である。
各点間の距離は上向きおよび右向きを正として測る。 また、焦点距離 f, f' はパワーが正の光学系（凸レンズなど）では正の数、負の光学系（凹レンズなど）では負の数とする。
実像
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凸レンズによる実像では、距離を表す変数のうち s' （主点に対し左向き）、 z （焦点に対し左向き）、 h' （光軸に対し下向き）が負の数となることに注意する。
（証）図1において、相似な三角形の辺の比より次の2つの関係
- h : h' = f' : z'
- h : h' = -z : f
が成り立つ。したがって
- f' : z' = -x : f
であり
- -zz' = ff'
が示された。（了）
虚像
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凸レンズによる虚像では、距離を表す変数のうち s, s' （主点に対し左向き）および z' （焦点に対し左向き）が負の数となることに注意する。
（証）図2において、相似な三角形の辺の比より次の2つの関係
- h : h' = f' : -z'
- h : h' = z : f
が成り立つ。したがって
- f' : -z' = x : f
であり
- -zz' = ff'
が示された。（了）
凹レンズでは、凸レンズによる虚像と同様の証明が成り立つ（ f, f' のみをそれぞれ -f, -f' で置き換えればよい）。
ニュートン形式と分数形式
[編集]最後に、ニュートン形式と分数形式が等価であることを示しておく。
（証）ニュートン形式のレンズの式
- -zz' = ff'
に -z = -s - f, z' = s' - f' を代入すると
- (-s - f)(s' - f') = ff'
となる。展開して整理すると
- ss' + fs' = f's
とできる。
ここで媒質の屈折率が物側・像側とも等しいとして f = f' とすると
- ss' + fs' = fs
となり、両辺を ss'f で割ると
- 1/f + 1/s = 1/s'
となる。（了）
出典
[編集]- Smith, Warren J. (2000-07-26). Modern Optical Engineering: The Design of Optical Systems (3rd Ed. ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0071363600
関連項目
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