分類定理

数学において，分類定理（ぶんるいていり，英: classification theorem）は「与えられた種類の対象を同値の違いを除いて決定せよ」という分類問題に答える．それは重複しない数え上げを与える：各対象はちょうど1つの類に同値である．

分類に関連するいくつかの問題は以下である．

• 同値問題：「2つの対象が与えられたとき，それらが同値であるかどうか決定せよ．」
• 不変量が実現可能な完全不変量は分類問題を解き，しばしばその段階である．
• （不変量が実現可能な）計算可能な完全不変量は分類問題と同値問題の両方を解く．
• 標準形は分類問題を解き，データはより多い：すべての類を分類するだけでなく，各類の顕著な（標準的な）元を与える．

以下に述べるように数学において多くの分類定理が存在する．

幾何学

• ユークリッド平面の等長同型の分類
• 曲面の分類定理
  • 2次元閉多様体の分類
  • （複素2次元，実4次元の）代数曲面のエンリケス・小平の分類
  • コンパクト曲面の同相写像を特徴づけるニールセン・サーストンの分類
• サーストンの8モデル幾何学と幾何化予想

代数学

• 有限単純群の分類
• アルティン・ウェダーバーンの定理 — 半単純環の分類定理

線型代数学

• 有限次元ベクトル空間（次元によって）
• 階数・退化次数の定理（階数と退化次数によって）
• 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
• ジョルダン標準形
• シルヴェスターの慣性法則

複素解析

• ファトゥ成分の分類

関連文献

• "特集：数学における分類のこころ". 数学セミナー. Vol. 598. 日本評論社. 2011年7月.
• "特集：分類する《数理科学》なぜ分けて考えるのか". 数理科学. Vol. 604. サイエンス社. 2013年10月.