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位相的エントロピー(いそうてきエントロピー、英: topological entropy)とは、力学系の不変量であり、アドラー=クロンハイム=マカンドルーが1965年に導入した。[1]
開被覆による定義[編集]
アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。
をコンパクト離散力学系とせよ。
すなわち、
はコンパクト位相空間であり、
は連続写像である。
まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。
と
を
の開被覆とせよ。
このとき、
と
の共通細分
を
![{\displaystyle \alpha \vee \beta :=\{A\cap B\mid A\in \alpha ,B\in \beta \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f157fdb4f8a1fe68866aeab7daebf33e854a94)
により定義する。
また、
![{\displaystyle f^{-1}(\alpha ):=\{f^{-1}(A)\mid A\in \alpha \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697bd89906535ff049e89ae92836c1f57ab1115d)
も
の開被覆である。
さて、位相的エントロピーを定義しよう。
を
の開被覆とせよ。
の有限部分被覆の濃度の最小値を、
とする。
このとき、開被覆
のエントロピーを
![{\displaystyle H(\alpha ):=\log _{2}N(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eef39e4a48380eb93f51f025fc37360c0f0b29c)
により定義する。
また、極限
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(\alpha \vee f^{-1}(\alpha )\vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958984a0bb329516f3529be50215df5de747816a)
は常に存在する。
この極限値を開被覆
に関する連続写像
のエントロピーと呼び、
と表す。
このとき、コンパクト離散力学系
の位相的エントロピー
を
![{\displaystyle h(f):=\sup _{\alpha }h(f,\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c3c8715c03ea6bd5d0a0bfdc9df4daf0af217f)
により定義する。
ただし、上限は開被覆の全体で考える。
参考文献[編集]
- ^ R.L. Adler, A.G. Konheim, M.H. McAndrew, Topological Entropy, Transactions of the American Mathematical Society 114 (1965) 309-319