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乗数・加速度モデル(じょうすうかそくどモデル、英: Multiplier–accelerator model)とは、景気循環を説明するモデルである。ハンセン=サミュエルソンの乗数・加速度モデルとも呼ばれる。ポール・サミュエルソン(Samuelson, P.A. (1939))が発表し、J. R. ヒックス(Hicks, J.R. (1950))が発展させた。発展させたものはサミュエルソン=ヒックスの乗数・加速度モデルと呼ばれる。
乗数・加速度モデルは乗数原理と加速度原理を合わせ、景気循環を説明しようというものである。以下はサミュエルソンによる乗数・加速度モデルである。
![{\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6710d53b518a1c8f9a0a52a0b57972b2dfdfa4f4)
(1)
![{\displaystyle C_{t}=C+cY_{t-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d610d7382d171abb8e1ed3c5c28a8b18db0900)
(2)
![{\displaystyle I_{t}=I+v(Y_{t-1}-Y_{t-2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291b03923fc65646d55fce117c0986bed07bc70b)
(3)
ただし、
: GDP
:
はt期の消費。
は基礎消費。
:
はt期の投資。
は独立投資。
: 消費性向
: t期(時間)
: 加速度係数
をそれぞれ指す。
ここで、(1)
はt期の国民所得
が消費されるか投資されるかのいずれかであることを示している。(2)
はt期の消費
がどのように決定されるかを示している。(3)
はt期の投資
がどのように決定されるかを示している。(3)式は加速度原理を表している。
(1)、(2)を(3)に代入すると、
![{\displaystyle Y_{t}=(c+v)Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15f54a49a9c8fe4375983118cd6c93c923e21b9)
(4)
という2階差分方程式を得る。これを(4)式とする。
![{\displaystyle A\equiv C+I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609d01ab53729d1f49750cd2ecf08dec47b4a482)
とおいて、(4)式を整理すると、
![{\displaystyle Y_{t}-(c+v)Y_{t-1}+vY_{t-2}-A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0c189bb4cf3e0a0b3c8de8ce4fbfc9901d91e0)
(4')
(4')式の不動点を求めると、
![{\displaystyle Y^{*}={\frac {A}{1-c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c853b7971c103e648395941e2302a17a989b9c45)
(5)
これを(5)式とする。
(4')式の特性方程式は、
![{\displaystyle \lambda ^{2}-(c+v)\lambda +v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9458befa6c27df9685bf179a93c06113cb51253b)
(6)
この特性方程式を(6)式とする。(6)式の判別式をDとすると
![{\displaystyle D=(c+v)^{2}-4v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e97eb03ecfa86bf867ad1f6d3278e21de44712)
よって、
が正のとき実根が存在し、負のとき複素根が存在する。
(6)式の特性根は
![{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}={\frac {(c+v)\pm {\sqrt {(c+v)^{2}-4v}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a21f15616da5ed7443379417a31a690b240867)
このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が実根の場合、時間とともに単調に発散するか、単調に不動点に収束することになる。このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が複素根の場合、変動が存在する。
複素根が存在するとして、これらの複素根を
![{\displaystyle \alpha +i\beta ,\alpha -i\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bca275dea85d590c79fbff0368dfc26e3e4182)
と置く。さらに、特性根の絶対値を
とすると、
![{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\beta }{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd910036e6eb8fca71122df566e8f541b4cabfb)
![{\displaystyle \alpha =\rho \cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44568de51e8f53d8e57899156159344b03e46198)
![{\displaystyle \beta =\rho \sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8e228babac1f34a9b1f82a6f606aeceb0f6c13)
となる。これらの式から、
![{\displaystyle \lambda _{1}=\rho (\cos \theta +\sin \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3895d821f7a63d7679523c61892b622817173b71)
![{\displaystyle \lambda _{2}=\rho (\cos \theta -\sin \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f080e94023631db2712b132e776d4ce128435a44)
同次部分の一般解を求めると、
![{\displaystyle a_{1}\lambda _{1}^{t}+a_{2}\lambda _{2}^{t}=2k\rho ^{t}\cos(t\theta +\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ab854024ea51294844a4fb0a07a4a0a4d1140b)
(6)式の特性根の式から、
![{\displaystyle \alpha ={\frac {c+v}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd9f5fce37d0735a0c96c928c6eeeaa4325d098)
![{\displaystyle \beta ={\frac {\sqrt {4v-(c+v)^{2}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1654a7dfc7d2d0f40484a4708624977e458d0e6b)
なので、
![{\displaystyle \rho ={\sqrt {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58f504c2c8e815e2f6a89e6e45667a45f2fd9b3)
となる。このとき、
ならば解の軌道は時間とともに振動しながら不動点に収束し、
ならば解の軌道は時間とともに振動しながら発散する。
このサミュエルソンの乗数・加速度モデルの特性方程式が複素根を持つ場合に対して、J. R. ヒックスは床と天井の概念を導入した。
関連項目[編集]
参照文献[編集]