三極座標

三極座標（さんきょくざひょう、英: tripolar coordinates）は、三角形を基準とする座標の一つである。三極座標では△ABCに対して点$P$の座標は$(AP,BP,CP)$と定義される。現在、三極座標はほとんど使われない。

関係式

レオンハルト・オイラーは三極座標$(f,g,h)$において、次の関係式が成り立つことを示した。ただし$a,b,c$は三角形の三辺。$${\begin{aligned}(-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}-c^{2})^{2}h^{2}+(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}-c^{2})\\-4f^{2}g^{2}h^{2}=0\end{aligned}}$$和算家は次の式を六斜術と呼んだ。$${\begin{aligned}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(g^{2}h^{2}+a^{2}f^{2})+(a^{2}-b^{2}+c^{2})(h^{2}f^{2}+b^{2}g^{2})+(a^{2}+b^{2}-c^{2})(f^{2}g^{2}+a^{2}h^{2})\\-a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}f^{4}-b^{2}g^{4}-c^{2}h^{4}=0\end{aligned}}$$

円と直線

三極座標において、$l+m+n=0$が成立すれば、方程式$lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0$は直線、成立しなければ円を表す。

• 方程式が円を表す場合、その中心は重心座標系で$(l:m:n)$と表される。
• 方程式が直線を表す場合、その直線は重心座標で$lx+my+nz=0$と表される直線に垂直である。

比

$(f,g,h)$について、三極座標$f:g:h=x:y:z$を満たす点$(x,y,z)$の個数は、$af,bg,ch$によって決定される。

• $af,bg,ch$が三角形を作れる（三角不等式を満たす）とき、2つ存在する。この二点は三極連合を成すと言われる。
• $af,bg,ch$が退化した三角形を作る（どれか2つの和が残り一つの値に等しい）とき1つ存在する。
• $af,bg,ch$が三角形を作れない場合、存在しない。

たとえば$f:g:h={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}$を満たす点は二つの等力点である。

例

以下にいくつかの三角形の中心の三極座標を挙げる。ただし$R$は外接円の半径。

点	三極座標
内心	${\sqrt {\frac {bc(-a+b+c)}{a+b+c}}}:{\sqrt {\frac {ca(a-b+c)}{a+b+c}}}:{\sqrt {\frac {ab(a+b-c)}{a+b+c}}}$
重心	${\frac {\sqrt {-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}}{3}}:{\frac {\sqrt {2a^{2}-b^{2}+2c^{2}}}{3}}:{\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{3}}$
外心	$R:R:R$
垂心	$2R|\cos A|:2R|\cos B|:2R|\cos C|$

一般に重心座標で$p;q;r\quad (p+q+r=1)$と表される点と頂点の距離の自乗は次の式で求める事ができる。

$AP^{2}=c^{2}q^{2}+b^{2}r^{2}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})qr$

関連項目

• 三線座標
• 双極座標系
• 極座標系