ループのアイソトピー

数学の抽象代数学分野に於いて、アイソトピー (または イソトピー 英: isotopy) とは、ループの代数的概念を分類するために使われる同値関係である。

ループおよび準群のアイソトピーは、 Albert (1943) によって導入された。 ^{[原文 1]}

準群のアイソトピー

任意の準群は、あるループとアイソトピックである。

$(Q,\cdot )$ と $(P,\circ )$ を準群とする。 Q から P への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy) とは、 Q から P への写像の三つ組み (α, β, γ) であって、以下の条件を満たす者である。

\alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,\quad \forall x,y\in Q

準群の準同型 (英: quasigroup homomorphism) とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像 (α, β, γ) が全単射　である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格の言葉で言い換えると、アイソトピー (α, β, γ) は、行の置換 α、列の置換 β、そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。

オートトピー (英: autotopy) は、 $(Q,\cdot )$ からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型群を部分群とする群を成す^{[訳語疑問点]} ^{[原文 2]}。

主アイソトピー (英: principal isotopy) とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る ^{[原文 3]}。

ループのアイソトピー

$(L,\cdot )$ と $(K,\circ )$ をループとし、 $(\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K$ をアイソトピーとする。この時、(そのアイソトピー) は主アイソトピー $(L,\cdot )$ と $(L,*)$ の $(\alpha _{0},\beta _{0},id)$ と、同型写像 $(L,*)$ と $(K,\circ )$ 間の $\gamma$ を使って、それらの合成^{[訳語疑問点]} になっている^[1] 実際、 $\alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha$ , $\beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta$ とおいて、演算を $*$ by $x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)$ で定義する。^{[要検証 – ノート]}

$(L,\cdot )$ と $(L,\circ )$ をループとし、e を単位元 of $(L,\cdot )$ とする。さらに $(\alpha ,\beta ,id)$ を $(L,\cdot )$ to $(L,\circ )$ への主アイソトピーとする。この時 $\alpha =R_{b}^{-1}$ および $\beta =L_{a}^{-1}$ ここで $a=\alpha (e)$ and $b=\beta (e)$ .^{[要検証 – ノート]}

ループ L が G-loop であるとは、それがすべてのループアイソトープループと同型であることと定義される^{[原文 4]}。

ループの疑似自己同型

L をループ、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x, y に対して、下記の恒等式を満たすこ時、c を コンパニオン要素 とする右疑似同型 (英: right pseudo-automorphism of L with companion element c)^{[訳語疑問点]} と呼ばれる：

\alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)

同様に、左疑似同型 (英: left pseudo-automorphisms) も定義される。

ユニバーサル性

ループについてのある性質 P が ユニバーサル (普遍的、英: universal) であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープなループでも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。明らかに、L の主アイソトープについて P が成り立つかどうかをチェックすれば十分である。^{[要検証 – ノート]}

例として、可換ループのアイソトープは、必ずしも可換とは限らないので、可換性はユニバーサルではない。しかし、別の例として、結合性はユニバーサルである。アーベル群であるという性質もユニバーサルな性質である^{[要検証 – ノート]}。実際、任意の群は、G-loop である ^{[要検証 – ノート]}。

アイソトピーの幾何学的実行

与えられたループ L に対して、3-net と呼ばれる入社幾何（英語版）学的構造を定義することができる。逆に、原点と直線クラスの順序^{[訳語疑問点]} を固定すると、3-net はループを発生させる。別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある ^{[原文 5]}。しかしながら、座標ループ^{[訳語疑問点]} は常にアイソトピックである。言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る^{[原文 6]}。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

ループのオートトピーの成す群は、3-net の共線変換（英語版）を保存する群の方向^{[訳語疑問点]} に対応 ^{[原文 7]}
疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応^{[原文 8]}。
ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない ^{[原文 9]}。

脚注

[脚注の使い方]

原文

^ 未訳: based on his slightly earlier definition of isotopy for algebras, which was in turn inspired by work of Steenrod.
^ The set of all autotopies of a quasigroup form a group with the automorphism group as a subgroup.
^ 原文: In this case the underlying sets of the quasigroups must be the same but the multiplications may differ.
^ 原文: A loop L is a G-loop if it is isomorphic to all its loop isotopes.
^ 原文: Choosing a different origin or exchanging the line classes may result in nonisomorphic coordinate loops.
^ 原文: In other words, two loops are isotopic if and only if they are equivalent from geometric point of view.
^ 原文: The group of autotopism of the loop corresponds to the group direction preserving collineations of the 3-net.
^ 原文: The set of companion elements is the orbit of the stabilizer of the axis in the collineation group.
^ 原文: The property P is universal if and only if it is independent on the choice of the origin

出典

^ Then it is the product of the principal isotopy $(\alpha _{0},\beta _{0},id)$ from $(L,\cdot )$ and $(L,*)$ and the isomorphism $\gamma$ between $(L,*)$ and $(K,\circ )$ .

参考文献

Albert, A. A. (1943), “Quasigroups. I.”, Trans. Amer. Math. Soc. 54: 507–519, doi:10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7, MR 0009962
Kurosh, A. G. (1963), Lectures on general algebra, New York: Chelsea Publishing Co., MR0158000

[1] 未訳: based on his slightly earlier definition of isotopy for algebras, which was in turn inspired by work of Steenrod.

[2] The set of all autotopies of a quasigroup form a group with the automorphism group as a subgroup.

[3] 原文: In this case the underlying sets of the quasigroups must be the same but the multiplications may differ.

[5] 原文: A loop L is a G-loop if it is isomorphic to all its loop isotopes.

[6] 原文: Choosing a different origin or exchanging the line classes may result in nonisomorphic coordinate loops.

[7] 原文: In other words, two loops are isotopic if and only if they are equivalent from geometric point of view.

[8] 原文: The group of autotopism of the loop corresponds to the group direction preserving collineations of the 3-net.

[9] 原文: The set of companion elements is the orbit of the stabilizer of the axis in the collineation group.

[10] 原文: The property P is universal if and only if it is independent on the choice of the origin

[4] Then it is the product of the principal isotopy $(\alpha _{0},\beta _{0},id)$ from $(L,\cdot )$ and $(L,*)$ and the isomorphism $\gamma$ between $(L,*)$ and $(K,\circ )$ .

[原文 1]

[原文 2]

[原文 3]

[1]

[原文 4]

[原文 5]

[原文 6]

[原文 7]

[原文 8]

[原文 9]

準群のアイソトピー

ループのアイソトピー

ループの疑似自己同型

ユニバーサル性

アイソトピーの幾何学的実行

関連項目

脚注

原文

出典

参考文献