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ヤコビの二平方定理(Jacobi's two square theorem)は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理[1]。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。
自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は
![{\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }n}(-1)^{\frac {d-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47ba0703c9c764f2349d29d705e1b42d5d3fa0b)
で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。
具体例[編集]
例えば、
![{\displaystyle r_{2}(25)=4\left((-1)^{\frac {1-1}{2}}+(-1)^{\frac {5-1}{2}}+(-1)^{\frac {25-1}{2}}\right)=12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861dc160bd42686310ab7c677e9cc48d25f9b3fb)
であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は
![{\displaystyle {\begin{aligned}25&=(\pm 5)^{2}+0^{2}\\&=0^{2}+(\pm 5)^{2}\\&=(\pm 4)^{2}+(\pm 3)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 4)^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd27586b05e8ec05d7763864d0765c938f3cee1)
であり、符号と順序を区別すれば12個になる。
テータ関数の比は楕円関数(二重周期を持つ有理型関数)になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(v)&={\frac {\partial }{\partial {v}}}\left({\frac {\vartheta _{1}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)={\frac {\vartheta _{1}'(v,\tau )\vartheta _{2}(v,\tau )-\vartheta _{1}(v,\tau )\vartheta _{2}'(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}\\G(v)&=\left({\frac {\vartheta _{3}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)\left({\frac {\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)={\frac {\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7938cbde1bff91c652a362f2bdeccfe99d034c9)
と
は共に楕円関数である。且つ、
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f66991fb93f08c27f65b41b199f352c4bc7b948)
であるから、
となるところにおいて悉く
となり、リウヴィルの定理によって
は定数である。
として
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}(0,\tau )=0\\&\vartheta _{1}'(0,\tau )=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dee721544bd1f479f9506a14a01d58677b45220)
により、
を得る。従って、
![{\displaystyle F\left(v\right)={\frac {\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2129a0d991e0f811fd8ea72b325550613f01528a)
である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、
を代入し、
と書くと
![{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={\frac {\pi \left(2q^{1/4}\right)^{2}}{\left(2q^{1/4}\right)^{2}\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{4}}}}\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{2m})^{2}(1+q^{2m})^{4}(1-q^{2m})(1+iq^{2m-1})(1-iq^{2m-1})(1-q^{2m})(1-iq^{2m-1})(1+iq^{2m-1})}{(1-q^{2m})^{2}(1+iq^{2m})^{2}(1-iq^{2m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{2m})^{2}(1+q^{2m})^{4}(1+iq^{2m-1})^{2}(1-iq^{2m-1})^{2}}{(1+iq^{2m})^{2}(1-iq^{2m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{4m})^{2}(1+q^{2m})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}}{(1+q^{4m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{4m})^{2}(1+q^{4m})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}}{(1+q^{4m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})^{2}(1+q^{4m-2})^{4}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1464193f3e1686775f90322ac8e2b52dc38fbec9)
となり、ヤコビの三重積の公式により
![{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2n^{2}}\right)^{2}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbae01f7a4226dad298532b9e3e000a141e1d0ff)
となる。一方、
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{2}\left(v\right)=\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\&\vartheta _{2}'\left(v\right)=\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e57ffb7bb9d4990fc8ac2441469d0887405a931)
であるから
![{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={\frac {\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)\vartheta _{2}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)\vartheta _{2}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{\vartheta _{2}\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}}}={\frac {2\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d548dc3c3f1b5c722141b2ce77fac124dd16eba3)
であり、テータ関数の対数微分の公式により
![{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \cot {\frac {\pi }{4}}+8\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{2n}}}\sin {\frac {\pi {n}}{2}}\\&=2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{2(2k+1)}}{1-q^{2(2k+1)}}}(-1)^{k}\qquad (n\to 2k+1)\\&=2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa4b8ce9c3d4a4ad7f2eb52a70dc6708ec1fd04)
である。以上により、
![{\displaystyle {\frac {F\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{2\pi }}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}=1+4\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e07d9aaa380d4d717b25d3ae1ad4ea3bf9c4a3)
が得られ、
の係数を比較することにより、
![{\displaystyle r_{2}(N)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }N}(-1)^{\frac {d-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bc342e6222f28e30211118bf671e139d9e7ae0)
が得られる。
関連記事[編集]
- ^ Hardy & Write, 1938, An Introduction to the Theory of Numbers