モーデル作用素

モーデル作用素(モーデルさようそ、Mordell operator)とは、関数$\Delta (z):=q\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{24}$に作用する作用素。

定義

各素数$p$に対して、 モーデル作用素$T(p)$は、ラマヌジャンが考察した関数$\Delta (z)$

$\Delta (z):=q\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{24}=:\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n},\quad q:=\exp \left(2\pi iz\right),\quad z\in H:=\{\zeta |\mathrm {Im} \zeta >0\},$

に作用する作用素として、以下のように定義される 。

$(T(p)\Delta )(z):={\frac {1}{p}}\sum _{l=0}^{p-1}\Delta \left({\frac {z+l}{p}}\right)+p^{11}\Delta (pz).$

歴史

1916年にラマヌジャンは$\tau (p)$に関して、次の2つの命題を予想した。

• ディリクレ級数$L(s,\Delta )$を$L(s,\Delta ):=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)n^{-s}$と定義すると$L(s,\Delta )=\prod _{p=\mathrm {prime\;number} }\left(1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}\right)^{-1}$が成立する。
• 素数$p$に対して、$|\tau (p)|<2p^{11/2}$が成立する。(「ラマヌジャン予想」と呼ばれる。1974年にドリーニュによって証明された。)

さらに、次の命題を証明した。

• 素数$p$に対して、$\tau (p)\equiv 1+p^{11}(\mod 691).$

1917年、モーデルはこの3つのうち最初の命題を証明した 。 その時の証明の中で、モーデル作用素を定義し、 $\Delta (z)$がモーデル作用素の固有状態で、その固有値が$\tau (p)$であることを示した。

$(T(p)\Delta )(z)=\tau (p)\Delta (z).$