平面 R 2 の原点に関して対称な凸集合が22 より大きい面積をもつならば、原点とは異なる整数点をもつ。 ミンコフスキーの定理 （英 : Minkowski's theorem ）は凸体の中の格子点 の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキー によって証明され、二次形式 の研究に用いられた。
凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学 へと発展し、二次形式のほか、代数体 の単数 やイデアル類群 の性質の研究、ディオファントス近似 など数論の様々な領域に応用されている。
L を R n d (L ) を L に対応する行列 の行列式 とする。
R n
2
n
d
(
L
)
{\displaystyle 2^{n}d(L)}
L 上の点を有する[ 1]
特に体積が 2n R n
R n S に対して V (S ) を S の体積とする。
まず、次のブリクフェルトの定理 （英語版 ） [ 2]
S を体積が d (L ) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり
v
1
−
v
2
∈
L
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}}
となる
v
1
,
v
2
∈
S
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S}
L の基底
u
1
,
u
2
,
…
,
u
n
{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}
F
=
{
a
1
u
1
+
a
2
u
2
+
⋯
+
a
n
u
n
:
0
≤
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
<
1
}
{\displaystyle F=\{a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {u} _{n}:0\leq a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}<1\}}
をこの基底に対する L の基本領域とすると
V
(
F
)
=
d
(
L
)
{\displaystyle V(F)=d(L)}
が成り立つ。
v
=
b
1
u
1
+
b
2
u
2
+
⋯
+
b
n
u
n
{\displaystyle \mathbf {v} =b_{1}\mathbf {u} _{1}+b_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {u} _{n}}
に対して
f
(
v
)
=
∑
i
=
1
n
(
b
i
−
⌊
b
i
⌋
)
u
i
{\displaystyle f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-\lfloor b_{i}\rfloor )\mathbf {u} _{i}}
を対応させる。
f は R n F への写像で、
f
(
v
)
−
v
=
∑
i
=
1
n
⌊
b
i
⌋
u
i
∈
L
{\displaystyle f(\mathbf {v} )-\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}\lfloor b_{i}\rfloor \mathbf {u} _{i}\in L}
が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、
f が S 上で単射 ならば
V
(
f
(
S
)
)
=
V
(
S
)
{\displaystyle V(f(S))=V(S)}
f の像 は F に含まれるから
V
(
S
)
>
d
(
L
)
=
V
(
F
)
≥
V
(
f
(
S
)
)
{\displaystyle V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))}
となる。よって f は S 上単射ではないので
f
(
v
1
)
=
f
(
v
2
)
{\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})=f(\mathbf {v} _{2})}
となる点
v
1
,
v
2
∈
S
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S}
f
(
v
1
)
−
v
1
,
f
(
v
2
)
−
v
2
∈
L
{\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})-\mathbf {v} _{1},f(\mathbf {v} _{2})-\mathbf {v} _{2}\in L}
だから
v
1
,
v
2
∈
S
,
v
2
−
v
1
=
r
2
−
r
1
∈
L
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S,\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\in L}
である。
S を R n
2
n
d
(
L
)
{\displaystyle 2^{n}d(L)}
T
=
1
2
S
=
{
1
2
v
:
v
∈
S
}
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}S=\left\{{\frac {1}{2}}\mathbf {v} :\mathbf {v} \in S\right\}}
とおく。
V
(
S
)
>
2
n
d
(
L
)
{\displaystyle V(S)>2^{n}d(L)}
V
(
T
)
=
V
(
S
)
/
2
n
>
d
(
L
)
{\displaystyle V(T)=V(S)/2^{n}>d(L)}
w
1
−
w
2
∈
L
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}}
となる2点
w
1
,
w
2
∈
T
{\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in T}
v
1
=
2
w
1
,
u
=
2
w
2
∈
S
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}=2\mathbf {w} _{1},\mathbf {u} =2\mathbf {w} _{2}\in S}
S は原点に関して対称だから
v
2
=
−
u
=
−
2
w
2
∈
S
{\displaystyle \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {u} =-2\mathbf {w} _{2}\in S}
S は凸集合なので
v
=
1
2
(
v
1
+
v
2
)
∈
S
{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\in S}
1
2
(
v
1
+
v
2
)
=
w
1
−
w
2
∈
L
∖
{
0
}
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}}
であるから S は原点とは異なる L 上の点
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。
l
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
j
(
i
=
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle l_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\qquad (i=1,2,\ldots ,n)}
を n =r +2s 個の一次形式 とし、そのうち l 1 , l 2 , ..., l r l r +j l r +s +j j = 1, 2, ..., s ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。
ここで k 1 , k 2 , ..., k r +s
k
1
k
2
⋯
k
r
(
k
r
+
1
k
r
+
2
⋯
k
r
+
s
)
2
≥
(
2
π
)
s
|
Δ
|
{\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}|\Delta |}
を満たすならば、
|
l
i
|
≤
k
i
(
i
=
1
,
2
,
…
,
r
+
s
)
{\displaystyle |l_{i}|\leq k_{i}\qquad (i=1,2,\ldots ,r+s)}
となる整数 x 1 , x 2 , ..., x n
また k 1 , k 2 , ..., k r +s
k
1
k
2
⋯
k
r
(
k
r
+
1
k
r
+
2
⋯
k
r
+
s
)
2
≥
(
4
π
)
s
n
!
n
n
|
Δ
|
{\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |}
を満たすならば、
∏
i
=
1
n
|
l
i
|
≤
|
Δ
|
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}|l_{i}|\leq |\Delta |}
となる整数 x 1 , x 2 , ..., x n
ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。
たとえばフェルマーの二平方定理 は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理 は4次元空間の超球体 内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる[ 3]
ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の（つまり s 対の共役対からなる）複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群 のそれぞれの類はノルムが
(
4
π
)
s
n
!
n
n
|
Δ
|
{\displaystyle \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |}
を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界 という。
上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる[ 4] p を
4
n
+
1
{\displaystyle 4n+1}
t
2
+
1
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle t^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}
となる t がとれる（p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。
y
≡
t
x
(
mod
p
)
{\displaystyle y\equiv tx{\pmod {p}}}
となる点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(
1
,
t
)
,
(
0
,
p
)
{\displaystyle (1,t),(0,p)}
L と一致し、
d
(
L
)
=
p
{\displaystyle d(L)=p}
2
p
{\displaystyle {\sqrt {2p}}}
2
π
p
>
4
p
{\displaystyle 2\pi p>4p}
L の格子点
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
b
≡
t
a
(
mod
p
)
{\displaystyle b\equiv ta{\pmod {p}}}
であるから
a
2
+
b
2
≡
a
2
(
1
+
t
2
)
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv a^{2}(1+t^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}
である。一方
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
2
p
{\displaystyle {\sqrt {2p}}}
0
<
a
2
+
b
2
<
2
p
{\displaystyle 0<a^{2}+b^{2}<2p}
である。よって
p
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}
が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。
^ Cassels (1997 , pp. 71–72, Chapter III.2.2, Theorem II), Nathanson (1996 , pp. 175–176, Chapter 6.2, Theorem 6.4)^ Cassels (1997 , pp. 68–69, Chapter III.2, Theorem I), Nathanson (1996 , p. 175, Chapter 6.2, Lemma 6.1)^ Cassels (1997 , pp. 98–102, Chapter III.7), Nathanson (1996 , pp. 177–179, Chapter 6.3) など^ Cassels (1997 , p. 99, Chapter III.7.2)
J. W. S. Cassels, (1959, 1971, 1997). An Introduction to the Geometry of Numbers . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-62035-5 . ISBN 978-3-642-62035-5 John Conway and Neil J. A. Sloane, (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-6568-7 . ISBN 978-1-4757-6568-7 Hancock, Harris (1964, 2005). Development of the Minkowski Geometry of Numbers, vol I, II . Dover （旧版 The MacMillan, 1939） Pascale Gruber and C. G. Lekkerkerker (1987). Geometry of Numbers . Elsevier. ISBN 9780080960234 Melvyn B. Nathanson, (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets (Graduate Texts in Math. 165) . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94655-9 Wolfgang M. Schmidt, (1980). Diophantine approximation (Lecture Notes in Math. 785) . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-38645-2 . ISBN 978-3-540-38645-2 Wolfgang M. Schmidt, (1991). Diophantine Approximations and Diophantine Equations (Lecture Notes in Math. 1467) . Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0098246 . ISBN 978-3-540-47374-9 
