原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳 があることが判明しています。情報の利用には注意してください。 正確な表現に改訳できる方を求めています。 (2015年2月
数学では、複素数 係数の多項式
p
(
x
)
∈
C
[
x
]
{\displaystyle p(x)\in \mathbb {C} [x]}
マーラー測度 (Mahler measure)
M
(
p
)
{\displaystyle M(p)}
M
(
p
)
=
lim
τ
→
0
‖
p
‖
τ
=
exp
(
1
2
π
∫
0
2
π
ln
(
|
p
(
e
i
θ
)
|
)
d
θ
)
{\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right)}
と定義する。
ここに
|
|
p
|
|
τ
=
(
1
2
π
∫
0
2
π
|
p
(
e
i
θ
)
|
τ
d
θ
)
1
/
τ
{\displaystyle ||p||_{\tau }=\left({{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta }\right)^{1/\tau }\,}
は、
p
{\displaystyle p}
L τ ノルム
τ
<
1
{\displaystyle \tau <1}
イエンセンの公式 により、
p
(
z
)
=
a
(
z
−
α
1
)
(
z
−
α
2
)
⋯
(
z
−
α
n
)
{\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})}
であれば、
M
(
p
)
=
|
a
|
∏
i
=
1
n
max
{
1
,
|
α
i
|
}
=
|
a
|
∏
|
α
i
|
≥
1
|
α
i
|
.
{\displaystyle M(p)=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\}=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|.}
であることを示すことができる。
代数的数
α
{\displaystyle \alpha }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
α
{\displaystyle \alpha }
最小多項式 のマーラー測度として定義される。
マーラー測度は、クルト・マーラー （英語版 ）
マーラー測度 (Mahler measure)は乗法的、つまり、
M
(
p
q
)
=
M
(
p
)
⋅
M
(
q
)
.
{\displaystyle M(p\,q)=M(p)\cdot M(q).}
（クロネッカーの定理 ）
p
{\displaystyle p}
M
(
p
)
=
1
{\displaystyle M(p)=1}
p
(
z
)
=
z
{\displaystyle p(z)=z}
p
{\displaystyle p}
円分多項式 である。
レーマーの予想 は、定数
μ
>
1
{\displaystyle \mu >1}
p
{\displaystyle p}
M
(
p
)
=
1
{\displaystyle M(p)=1}
M
(
p
)
>
μ
{\displaystyle M(p)>\mu }
整数係数のモニック多項式のマーラー測度は、ペロン数 （英語版 ） 多変数の多項式
p
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
C
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}
M
(
p
)
{\displaystyle M(p)}
[ 1]
M
(
p
)
=
exp
(
1
(
2
π
)
n
∫
0
2
π
∫
0
2
π
⋯
∫
0
2
π
log
(
|
p
(
e
i
θ
1
,
e
i
θ
2
,
…
,
e
i
θ
n
)
|
)
d
θ
1
d
θ
2
⋯
d
θ
n
)
.
{\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}
多変数のマーラー測度は、一変数のマーラー測度の上記 3つの性質を持っている。（
m
(
P
)
=
log
M
(
P
)
{\displaystyle m(P)=\log {M(P)}}
ある場合には、多変数のマーラー測度はゼータ函数 やL-函数 の特殊値と関係を持つことが示されている。たとえば、1981年、クリス・スミス(Chris Smyth)は、次の式を証明した[ 2]
m
(
1
+
x
+
y
)
=
3
3
4
π
L
(
χ
−
3
,
2
)
{\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)}
ここに、
L
(
χ
−
3
,
s
)
{\displaystyle L(\chi _{-3},s)}
ディリクレのL-函数 であり、また
m
(
1
+
x
+
y
+
z
)
=
7
2
π
2
ζ
(
3
)
{\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)}
ここに、
ζ
{\displaystyle \zeta }
リーマンゼータ函数 である。この公式では、2変数、および 3変数の多項式のマーラー測度が、それぞれ、二重対数函数 （英語版 ） 三重対数函数 (trilogarithm) と関連付けられる。ここで、これらの式を他の導手へ一般化することができるかと問うことができる。つまり、各々の負の判別式
−
f
{\displaystyle -f}
P
f
(
x
,
y
)
∈
Z
[
x
,
y
]
{\displaystyle P_{f}(x,y)\in \mathbb {Z} [x,y]}
r
f
∈
Q
{\displaystyle r_{f}\in \mathbb {Q} }
m
(
P
f
)
=
r
f
d
f
,
{\displaystyle m(P_{f})=r_{f}d_{f}\ ,}
とすることができるであろうか。ここに
d
f
=
f
f
4
π
L
(
χ
−
f
,
2
)
{\displaystyle d_{f}={\frac {f{\sqrt {f}}}{4\pi }}L(\chi _{-f},2)}
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
ζ
F
(
z
)
{\displaystyle \zeta _{F}(z)}
[ 編集 ] 定義よりマーラー測度は、トーラスの上の多項式の積分値とみなすことができる（レーマーの予想 を参照）。
p
{\displaystyle p}
(
S
1
)
n
{\displaystyle (S^{1})^{n}}
M
(
p
)
{\displaystyle M(p)}
M
(
p
)
{\displaystyle M(p)}
[ 3] ダヴィッド・ウィリアム・ボイド （英語版 ） [ 4] [ 5]
この定式化は次のようになる。
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
j
(
1
≤
j
≤
N
)
{\displaystyle j(1\leq j\leq N)}
Z
+
N
=
{
r
=
(
r
1
,
…
,
r
N
)
∈
Z
N
:
r
j
≥
0
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0}
Q
(
z
1
,
…
,
z
N
)
{\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}
N
{\displaystyle N}
r
=
(
r
1
,
…
,
r
N
)
∈
Z
+
N
{\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}
Q
r
(
z
)
{\displaystyle Q_{r}(z)}
Q
r
(
z
)
:=
Q
(
z
r
1
,
…
,
z
r
N
)
{\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}})}
と定義し、
q
(
r
)
{\displaystyle q(r)}
q
(
r
)
:=
min
{
H
(
s
)
:
s
=
(
s
1
,
…
,
s
N
)
∈
Z
N
,
s
≠
(
0
,
…
,
0
)
and
∑
j
=
1
N
s
j
r
j
=
0
}
{\displaystyle q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}
と定義する。ここに
H
(
s
)
=
max
{
|
s
j
|
:
1
≤
j
≤
N
}
{\displaystyle H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}
Theorem (Lawton) :
Q
(
z
1
,
…
,
z
N
)
{\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}
N 変数の多項式とすると、極限
lim
q
(
r
)
→
∞
M
(
Q
r
)
=
M
(
Q
)
{\displaystyle \lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)}
を定義できる（たとえ条件
r
i
≥
0
{\displaystyle r_{i}\geq 0}
ボイドは上の定理よりも一般的なステートメントを提示していて、現在も完全に証明されてはいない。彼は次のことを指摘した。すべての根を単位円板の中にあるような整数係数のモニック多項式を特徴付ける古典的なクロネッカーの定理 は、マーラー測度がちょうど 1 であるような一変数多項式を特徴づけていると見なすことができ、この結果は多変数の多項式にも適用できる[ 6]
Theorem (Boyd) :
F
(
z
1
,
…
,
z
n
)
{\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})}
M
(
F
)
=
1
{\displaystyle M(F)=1}
F
{\displaystyle F}
K
n
{\displaystyle K_{n}}
K
n
{\displaystyle K_{n}}
Ψ
(
z
)
=
z
1
b
1
…
z
n
b
n
Φ
(
z
1
v
1
,
…
,
z
n
b
n
)
.
{\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi (z_{1}^{v_{1}},\dots ,z_{n}^{b_{n}})\ .}
ここに、
Φ
m
(
z
)
{\displaystyle \Phi _{m}(z)}
m 次既約多項式でり、
v
i
{\displaystyle v_{i}}
b
i
=
max
(
0
,
−
v
i
deg
Φ
m
)
{\displaystyle b_{i}=\operatorname {max} (0,-v_{i}\operatorname {deg} \Phi _{m})}
Ψ
(
z
)
{\displaystyle \Psi (z)}
z
i
{\displaystyle z_{i}}
n
{\displaystyle n}
K
n
{\displaystyle K_{n}}
±
z
1
c
1
…
z
n
c
n
{\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}
このことより、多項式
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
L
n
:=
{
m
(
P
(
z
1
,
…
,
z
n
)
:
P
∈
Z
[
z
]
}
,
{\displaystyle L_{n}:=\{m(P(z_{1},\dots ,z_{n}):P\in \mathbb {Z} [z]\}\ ,}
が定義され、集合
L
=
⋃
n
=
1
∞
L
n
{\displaystyle \mathbb {L} =\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
[ 7]
L
1
⫋
L
2
{\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}
L
1
⫋
L
2
⫋
⋯
{\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq \ \cdots }
であることも予想しているが、知られる限りでは、現在、この予想は未解決である。（ロートンの極限定理は、レーマー予想の肯定的な条件付き証明の中では、最も一般的である。）
^ Schinzel (2000) p.224
^ Smyth (1981)
^ Lawton (1983)
^ Boyd (1981a)
^ Boyd (1981b)
^ D. Boyd (1981b)
^ D. Boyd (1981a)
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Mahler measure, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 [1]
Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory . CMS Books in Mathematics. 10 . Springer-Verlag . pp. 3, 15. ISBN 0-387-95444-9 . Zbl 1020.12001 Jensen, J.L. (1899). “Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions”. Acta Mathematica 22 : 359–364. doi :10.1007/BF02417878 . JFM 30.0364.02 . Knuth, Donald E. (1997). “4.6.2 Factorization of Polynomials”. Seminumerical Algorithms . The Art of Computer Programming. 2 (Third ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. pp. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2 Lawton, Wayne M. (1983). “A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials”. Journal of Number Theory 16 : 356-362. doi :10.1016/0022-314X(83)90063-X . Zbl 0516.12018 . Mossinghoff, M.J. (1998). “Polynomials with Small Mahler Measure”. Mathematics of Computation 67 (224): 1697–1706. doi :10.1090/S0025-5718-98-01006-0 . Zbl 0918.11056 . Schinzel, Andrzej (2000). Polynomials with special regard to reducibility . Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 77 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-66225-7 . Zbl 0956.12001 Smyth, Chris (2008). “The Mahler measure of algebraic numbers: a survey”. In McKee, James; Smyth, Chris. Number Theory and Polynomials . London Mathematical Society Lecture Note Series. 352 . Cambridge University Press . pp. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9 . Zbl 06093093 Boyd, David (1981a). Speculations concerning the range of Mahler's measure . Canad. Math. Bull.. 24(4) . pp. 453–469. Boyd, David (1981b). Kronecker's Theorem and Lehmer's Problem for Polynomials in Several Variables . Journal of Number Theory . 13 . pp. 116–121. Boyd, David (2000). Mahler's measure and invariants of hyperbolic manifolds . Number theory for the Millenium in M. A. Bennett (ed.). A. K. Peters. pp. 127–143 Boyd, David (2002). Mahler's measure, hyperbolic manifolds and the dilogarithm . Canadian Mathematical Society Notes. 34 . pp. 3–4, 26–28. David Boyd and F. Rodriguez Villegas: Mahler's measure and the dilogarithm , part 1, Canadian J. Math., vol, 54, 2002, pp. 468–492 
![{\displaystyle p(x)\in \mathbb {C} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8eb6c52fee01c3912e56773472c57dc153a5bdc)
![{\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379b64a9361ff3f80758a43489ef3d110534f906)
![{\displaystyle P_{f}(x,y)\in \mathbb {Z} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da2a1c929a8f3eb8bf28dfda6c022b7f23ed621)
![{\displaystyle L_{n}:=\{m(P(z_{1},\dots ,z_{n}):P\in \mathbb {Z} [z]\}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063e02c9737e63b76cb298f334c5d96239e10fe7)
