マッセルマンの定理
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マッセルマンの定理（マッセルマンのていり、英: Musselman's theorem）は、ユークリッド幾何学の三角形と円に関する定理。
三角形Tの頂点をA,B,C、Tの鏡映三角形をA*B*C*とする[1]。三角形の外心Oと対応する三角形の頂点を通る円、つまり円AOA*,BOB*,COC* を描く。この円はマッセルマン円（Musselman circles） と呼ばれる。マッセルマンの定理によれば、3つのマッセルマン円はOとは異なる点Mで交わる。またMは、Tの九点円の中心の等角共役点であるコスニタ点の、Tの外接円による反転点である[2]。
Encyclopedia of Triangle Centersにおいて、Mは三角形の中心に割り当てられている[3][2]。
歴史
[編集]マッセルマンの定理は1939年、ジョン・ロジャース・マッセルマンとルネ・ゴールマハティヒによって発見され、1941年に証明された[4][5]。また、ゴールマハティヒは一般化についても示している[6]。
ゴールマハティヒの一般化
[編集]ゴールマハティヒによるマッセルマンの定理の一般化は、円には明確に言及していない。
前項と同様にT,A,B,C,Oを定める。またTの垂心をHとする。今、線分OA,OB,OC上の点A',B',C'をOA' / OA= OB' / OB= OC' / OC= tを満たすように定める。次に、それぞれA',B',C'を通り、OA,OB,OCに直交する直線la , lb , lcとBC , CA , ABの交点をPa , Pb , Pcとする。
1884年、ノイベルグは、Pa , Pb , Pcは一直線R上にあることに気づいた[7]。NをRに対するOの射影、N'をR上のON' / ON= tを満たす点と定義する。QをQH / QO = 2tを満たすオイラー線上の点として、ゴールマハティヒはN'がTの外接円におけるQの反転点であることを証明した[8][9]。
出典
[編集]- ^ D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle. Forum Geometricorum, volume 3, pages 105–111
- ^ a b Eric W. Weisstein (), Musselman's theorem. online document, accessed on 2014-10-05.
- ^ Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers, section X(1157) . Accessed on 2014-10-08
- ^ John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928. American Mathematical Monthly, volume 46, page 601
- ^ John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281–283
- ^ Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza, page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.
- ^ Joseph Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh's theorem, but incorrectly.
- ^ Khoa Lu Nguyen (2005), A synthetic proof of Goormaghtigh's generalization of Musselman's theorem. Forum Geometricorum, volume 5, pages 17–20
- ^ Ion Pătrașcu and Cătălin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem. International Journal of Geometry, volume 1, pages=10–19, ISSN 2247-9880