ヘロンの三角形

幾何学においてヘロンの三角形（ヘロンのさんかくけい）とは、3辺の長さと面積の全てが整数となる三角形である。この名称は、3辺の長さと面積を関連付けたアレクサンドリアのヘロンに由来している。広義には、3辺の長さと面積が全て有理数であるものも含まれる。

性質

3辺の長さがすべて整数である直角三角形は、面積も整数となる。よってこれらはすべてヘロンの三角形である。

c, e, b + d の3つの辺と高さ a を持つ三角形

直角三角形でないヘロンの三角形の例として、3辺の長さが 5, 5, 6 の三角形がある（面積は 12）。この三角形は合同な2つの直角三角形をつなぎ合わせたものと見ることができる。この考え方は右の図のように一般化できる。

a, b, c が直角三角形の3辺であり a, d, e もそうであるとすると、長さ a の辺で両者をつなぎ合わせた三角形（3辺の長さは c , e , b + d ）の面積は $A={\frac {1}{2}}(b+d)a$ となる。a が偶数であれば A は整数である。a が奇数の場合、b と d が共に偶数となる。b+d が偶数なので、A は整数となる。

すべてのヘロンの三角形が2つの「3辺の長さが整数である直角三角形」に分割されるとは限らない。一例として、3辺の長さが 5, 29, 30 である三角形がある。この三角形の面積は 72 でありヘロンの三角形の条件を満たすが、どの方向に配置しても高さが整数とならない。最初の条件を「3辺の長さが有理数である直角三角形」に緩和すると、常に分割は可能となる。例にあげた 5, 29, 30 の三角形は、7/5, 24/5, 5 と 143/5, 24/5, 29 の2つの三角形に分割することができる。全て有理数なので、適当な整数（この場合は5）をかけることにより全ての辺を整数にすることができる。

定理

全てのヘロンの三角形は、3辺の長さが有理数である2つの直角三角形に分割することができる。

証明

右の図において、b + d, c, e および面積 A は整数と仮定する。 b + d は c, e より長いと仮定しても一般性を失わない。この仮定により、垂線の足が辺上に来ることが保障される。c, e は有理数（整数）なので、a, b, d が有理数であることを示せばよい。

この三角形の面積の式は以下の通りである。

$A={\frac {1}{2}}(b+d)a$

この式を a ついて解くと以下のようになる。

$a={\frac {2A}{b+d}}$

仮定より $A$ と $b+d$ が整数なので、a も有理数である。

ピタゴラスの定理より以下の2式が得られる。

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$a^{2}+d^{2}=e^{2}$

上の式から下の式を引いて変形する。

$b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}$

$\Rightarrow (b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}$

$\Rightarrow b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}$

c, e, b + d は整数なので b - d も有理数となる。

$b={\frac {(b+d)+(b-d)}{2}}$

$d={\frac {(b+d)-(b-d)}{2}}$

なので、b, d も有理数となる。

3辺の一般式

ヘロンの三角形の3辺の長さは以下の式で表すことができる。

$a=n(m^{2}+k^{2})\,$

$b=m(n^{2}+k^{2})\,$

$c=(m+n)(mn-k^{2})\,$

半周長$=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)\,$

面積$=mnk(m+n)(mn-k^{2})\,$

内接円の半径$=k(mn-k^{2})\,$

$s-a=n(mn-k^{2})\,$

$s-b=m(mn-k^{2})\,$

$s-c=(m+n)k^{2}\,$

m, n, k は以下の条件を満たす整数である。

$\gcd {(m,n,k)}=1$

$mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)$

$m\geq n\geq 1$

上の条件を満たさない m, n, k を用いてもヘロンの三角形になるが、これは小さいヘロン三角形を拡大したものになる。例えば m = 36, n = 4, k = 3 とすると、a = 5220, b = 900, c = 5400 という三角形ができる。これは、5, 29, 30 という三角形と相似である。

例

面積の小さいヘロンの三角形の例をあげる。

ここでは、3辺の長さが互いに素であるヘロンの三角形を、面積・周長の順に並べている。

面積	周長	b+d の長さ	e の長さ	c の長さ
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

(5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17) の5つは、周長と面積が等しい。

正三角形に近いヘロンの三角形

辺の長さが整数である正三角形の面積は無理数となるので、全ての正三角形はヘロンの三角形ではない。3辺の長さが公差1の等差数列をなす「正三角形に近い」ヘロンの三角形は無限に存在する（オンライン整数列大辞典の数列 A003500）。以下に最初のいくつかを示す。

辺の長さ			面積	内接円の半径
n − 1	n	n + 1
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

中央の値 n は、前の n を4倍してもう1つ前の n を引いたものになっている(52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, etc.)。漸化式で表すと以下のようになる。

$n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}$

この数列はリュカ数列の一種であり、$n=(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$ と表すこともできる。面積 = A, 内接円の半径 = yとおくと、

${\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}$

となり、{n, y} の組は n² − 12y² = 4 を満たす。n = 2x と変換すると、ペル方程式 x² − 3y² = 1 が得られる。この解は√3の連分数展開によって得られる。

関連項目

• ヘロンの公式

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "ヘロンの三角形". mathworld.wolfram.com (英語).
• Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
• Wm. Fitch Cheney, Jr. (January 1929), “Heronian Triangles”, Am. Math. Monthly 36 (1): 22–28, JSTOR 2300173, https://jstor.org/stable/2300173 
• S. sh. Kozhegel'dinov (1994), “On fundamental Heronian triangles”, Math. Notes 55 (2): 151–6, doi:10.1007/BF02113294, http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02113294