数学において、ブロッホ群 （英 : Bloch group ）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群 として定義される。複体の名前はスペンサー・ブロッホ （英語版 ） Spencer Bloch ) とアンドレイ・ススリン （英語版 ） Андре́й Су́слин ) に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数 、双曲幾何学 、代数的K理論 などと密接に関係している。
二重対数関数 （英語版 ） |z | < 1 に対して次の冪級数で定義される。
Li
2
(
z
)
=
∑
k
=
1
∞
z
k
k
2
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{2}}}}
この冪級数から二重対数関数の積分表示
Li
2
(
z
)
=
−
∫
0
z
log
(
1
−
t
)
d
t
t
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}\log(1-t)\;{\frac {dt}{t}}}
が得られる。ただし二重対数関数は2点 0, 1 で分岐しモノドロミー （多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から z への積分路は
z
∈
C
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
z = 0z = 1z = 0Li2 (z ) は
z
∈
C
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
普遍被覆空間 に正則に解析接続される。
ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。
D
2
(
z
)
=
ℑ
(
Li
2
(
z
)
)
+
arg
(
1
−
z
)
log
|
z
|
{\displaystyle D_{2}(z)=\Im (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log \left|z\right|}
D 2 (z )
D 2 (z )
C
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
D
2
(
z
)
=
D
2
(
z
−
1
z
)
=
D
2
(
1
1
−
z
)
=
−
D
2
(
1
z
)
=
−
D
2
(
1
−
z
)
=
−
D
2
(
z
z
−
1
)
.
{\displaystyle D_{2}(z)=D_{2}\left({\frac {z-1}{z}}\right)=D_{2}\left({\frac {1}{1-z}}\right)=-D_{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-D_{2}(1-z)=-D_{2}\left({\frac {z}{z-1}}\right).}
D
2
(
x
)
+
D
2
(
y
)
+
D
2
(
1
−
x
1
−
x
y
)
+
D
2
(
1
−
x
y
)
+
D
2
(
1
−
y
1
−
x
y
)
=
0.
{\displaystyle D_{2}(x)+D_{2}(y)+D_{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+D_{2}\left(1-xy\right)+D_{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0.}
最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式 である (Abel 1881 )。
K を体とし、
Z
(
K
)
=
Z
[
K
∖
{
0
,
1
}
]
{\displaystyle \mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]}
K
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle K\setminus \{0,1\}}
x に対する [x ] により Z 上生成された自由加群とする。また
D
(
K
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(K)}
[
x
]
+
[
y
]
+
[
1
−
x
1
−
x
y
]
+
[
1
−
x
y
]
+
[
1
−
y
1
−
x
y
]
{\displaystyle [x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]}
の形の元の生成する Z (K )
A
(
K
)
=
Z
(
K
)
/
D
(
K
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}(K)=\mathbb {Z} (K)/{\mathcal {D}}(K)}
Z (C )x = Σn j x j Z (C )D 2 (x ) = Σn j D 2 (x j D 2
x
∈
D
(
C
)
⇒
D
2
(
x
)
=
0
{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(\mathbb {C} )\Rightarrow D_{2}(x)=0}
と言い換えられ、従って D 2
A
(
C
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbb {C} )}
d
:
A
(
K
)
⟶
∧
2
(
K
×
)
{\displaystyle d\colon {\mathcal {A}}(K)\longrightarrow \wedge ^{2}(K^{\times })}
を、
x
∈
K
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle x\in K\setminus \{0,1\}}
d [x ] = x ∧(1−x )Z (K )d が
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
D
(
K
)
⊂
ker
d
{\displaystyle {\mathcal {D}}(K)\subset \ker d}
B
2
(
K
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(K)}
B
2
(
K
)
=
ker
d
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(K)=\ker d}
と定義する (Bloch 1978 )。松本の定理 により
K
2
(
K
)
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(K)}
代数的K群 として
K
2
(
K
)
=
coker
d
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(K)=\operatorname {coker} d}
B
2
(
C
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(\mathbb {C} )}
D 2
x
∈
B
2
(
C
)
⇔
D
2
(
x
)
=
0.
{\displaystyle x\in {\mathcal {B}}_{2}(\mathbb {C} )\Leftrightarrow D_{2}(x)=0.}
K を無限体とする。このとき
c
=
[
x
]
+
[
1
−
x
]
∈
B
2
(
K
)
{\displaystyle c=[x]+[1-x]\in {\mathcal {B}}_{2}(K)}
x の取り方に依らない。GM(K ) を無限次単項行列 のなす GL(K ) の部分群、BGM(K )+ をキレンのプラス構成 とすると、
coker
[
π
3
(
BGM
(
K
)
+
)
→
K
3
(
K
)
]
=
(
2
c
)
−
1
B
2
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {coker} \left[\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)\right]=(2c)^{-1}{\mathcal {B}}_{2}(K)}
が成り立つ (Suslin 1990 )。ここで
K
3
(
K
)
=
π
3
(
BGL
(
K
)
+
)
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(K)=\pi _{3}(\operatorname {BGL} (K)^{+})}
代数的K群 である。
さらに、ミルナーのK群 を
K
3
M
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}^{M}}
K
3
(
K
)
i
n
d
=
coker
(
K
3
M
(
K
)
→
K
3
(
K
)
)
,
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }=\operatorname {coker} ({\mathcal {K}}_{3}^{M}(K)\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)),\;}
Tor
(
K
×
,
K
×
)
∼
{\displaystyle \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }}
Tor
(
K
×
,
K
×
)
{\displaystyle \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })}
Z /2Z 完全列 が知られている。
0
⟶
Tor
(
K
×
,
K
×
)
∼
⟶
K
3
(
K
)
i
n
d
⟶
B
2
(
K
)
⟶
0.
{\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }\longrightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }\longrightarrow {\mathcal {B}}_{2}(K)\longrightarrow 0.}
ブロッホ・ウィグナー関数
D
2
(
z
)
{\displaystyle D_{2}(z)}
C
∖
{
0
,
1
}
=
C
P
1
∖
{
0
,
1
,
∞
}
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}=\mathbb {C} P^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}
H
3
{\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}
双曲空間 とし、
H
3
=
C
×
R
>
0
{\displaystyle \mathbb {H} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} _{>0}}
H
3
{\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}
H
3
¯
∖
H
3
{\displaystyle {\overline {\mathbb {H} ^{3}}}\setminus \mathbb {H} ^{3}}
C
∪
{
∞
}
=
C
P
1
{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}}
(
p
1
,
…
,
p
3
∈
C
P
1
)
{\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{3}\in \mathbb {C} P^{1})}
(
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
)
{\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})\;}
体積 を
⟨
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
⟩
{\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle }
⟨
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
⟩
=
D
2
(
(
p
0
−
p
2
)
(
p
1
−
p
3
)
(
p
0
−
p
1
)
(
p
2
−
p
3
)
)
{\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left({\frac {(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}}\right)}
であり、特に
D
2
(
z
)
=
⟨
0
,
1
,
z
,
∞
⟩
{\displaystyle D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty \right\rangle }
D
2
(
z
)
{\displaystyle D_{2}(z)}
(
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
,
p
4
)
{\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})}
⟨
∂
(
p
0
,
p
1
,
p
2
,
p
3
,
p
4
)
⟩
=
∑
i
=
0
4
(
−
1
)
i
⟨
p
0
,
…
,
p
^
i
,
…
,
p
4
⟩
=
0
{\displaystyle \left\langle \partial (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum _{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},\dots ,{\hat {p}}_{i},\dots ,p_{4}\right\rangle =0}
とは同値である。
加えて、3次元双曲多様体
X
=
H
3
/
Γ
{\displaystyle X=\mathbb {H} ^{3}/\Gamma }
X
=
⋃
j
=
1
n
Δ
(
z
j
)
{\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\Delta (z_{j})}
と分解する。ここに
Δ
(
z
j
)
{\displaystyle \Delta (z_{j})}
理想四面体 であり、それらの頂点はすべて
∂
H
3
{\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{3}}
z
j
{\displaystyle z_{j}}
Im
z
j
>
0
{\displaystyle \operatorname {Im} z_{j}>0}
Im
z
>
0
{\displaystyle \operatorname {Im} z>0}
z
{\displaystyle z}
0
,
1
,
z
,
∞
{\displaystyle 0,1,z,\infty }
z
{\displaystyle z}
Neumann & Zagier 1985 ) は、理想四面体
Δ
{\displaystyle \Delta }
v
o
l
(
Δ
(
z
)
)
=
D
2
(
z
)
,
{\displaystyle vol(\Delta (z))=D_{2}(z),}
D
2
(
z
)
{\displaystyle D_{2}(z)}
v
o
l
(
X
)
=
∑
j
=
1
n
{\displaystyle vol(X)=\sum _{j=1}^{n}}
を得る。モストウの剛性定理 は、
Im
z
j
>
0
{\displaystyle {\text{Im}}\ z_{j}>0}
j
{\displaystyle j}
二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は (Goncharov 1991 ) と (Zagier 1990 ) により拡張された。これらの一般化ブロッホ群
B
n
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}}
代数的K理論 やモチヴィックコホモロジー （英語版 ） Neumann 2004 )により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。
Bloch, S. (1978). “Applications of the dilogarithm function in algebraic K-theory and algebraic geometry”. In Nagata, M. Proc. Int. Symp. on Alg. Geometry . Tokyo: Kinokuniya. pp. 103–114 Neumann, W.D.; Zagier, D. (2004). “Volumes of hyperbolic three-manifolds”. Topology 24 : 307-332. Zagier, D. (1990). “Polylogarithms, Dedekind zeta functions, and the algebraic K-theory of fields”. In van der Geer, G.; Oort, F.; Steenbrink, J. Arithmetic Algebraic Geometry . Boston: Birkhäuser. pp. 391–430 
![{\displaystyle \mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0845fd37601e396987d20ff2d45bbef186909f73)
![{\displaystyle [x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f27ce54b6edbe97bf218f8b87dcf21a1dc73017)
![{\displaystyle c=[x]+[1-x]\in {\mathcal {B}}_{2}(K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac5ef6513edae553c0a51e7d00b161803d562bd)
![{\displaystyle \operatorname {coker} \left[\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)\right]=(2c)^{-1}{\mathcal {B}}_{2}(K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131a652cf43062308bbade4cb6e067039d1f46dc)
