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p, q, r, s, A, C の値から四角形の面積が求まる。
ブレートシュナイダーの公式(ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula)は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、p, q, r, s をそれぞれの辺の長さ、T を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は
![{\displaystyle {\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)-pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae893cb7de78168e729a583952907c50f3d62fca)
に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー(1808–1878)にちなむ。
四角形の面積を S とすると、
(±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します)![{\displaystyle {\begin{aligned}&={\frac {1}{2}}ps\sin A+{\frac {1}{2}}qr\sin C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64065e64c102669e9ebe07d67e302d2cf5dd09ab)
より
![{\displaystyle 4S^{2}=(ps)^{2}\sin ^{2}A+(qr)^{2}\sin ^{2}C+2pqrs\sin A\sin C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1741f2c33fec6d403d7ac5abd09b1de19fff6d70)
を得る。また、余弦定理より、
![{\displaystyle {\text{BD}}^{2}=p^{2}+s^{2}-2ps\cos A=q^{2}+r^{2}-2qr\cos C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5721aa72bc69153ac3b1cb5b90aaf1defe04260a)
であるから
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}\cos ^{2}A+(qr)^{2}\cos ^{2}C-2pqrs\cos A\cos C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc6f00258c3bf5fb75d210bb161aea3cea2e564)
を得る。4S2 についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、
![{\displaystyle 4S^{2}+{\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}+(qr)^{2}-2pqrs\cos(A+C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e480df4f9cc7d4f605ef3637ea9184868717750b)
となる。倍角の公式
を用いて変形すると、
![{\displaystyle 16S^{2}=(p+q+r-s)(p+q-r+s)(p-q+r+s)(-p+q+r+s)-16pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4606cd22181fd02400336b7649b9d8658e0fab8b)
となる。この式は、半周長
![{\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348dd3c30df1fd5963677ff5ca9f64701740cfb5)
を用いて
![{\displaystyle 16S^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)-16pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c91c78cf99e30cb083ca584328beff8e9d1c8c)
となり、ブレートシュナイダーの公式を得る。
円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式
- S = √(T − p)(T − q)(T − r)(T − s)
が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、T = p + r = q + s であることから
![{\displaystyle S={\sqrt {pqrs}}\sin {\frac {A+C}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a040e6fd9be11ffa06bbb886719d95c046140f)
が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、
- S = √pqrs
となる。また、上記の証明は p = 0 として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式
- S = √T(T − q)(T − r)(T − s)
を得る。