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フルビッツ行列 は、ドイツの数学者 のアドルフ・フルビッツ の名にちなむ行列 のこと。
フルビッツ行列とフルビッツの安定判別法 [ 編集 ]
数学 の分野におけるフルビッツ行列とは、実多項式 の係数から構成される実構造化正方行列 のことである。すなわち、実多項式
p
(
z
)
=
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
z
+
a
n
{\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}
に対して得られる
n
{\displaystyle n}
次正方行列
H
(
p
)
:=
[
a
1
a
3
a
5
a
7
…
0
a
0
a
2
a
4
a
6
…
0
0
a
1
a
3
a
5
…
0
0
a
0
a
2
a
4
…
0
0
0
a
1
a
3
…
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
0
…
a
n
]
{\displaystyle H(p):={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&a_{7}&\ldots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&a_{6}&\ldots &0\\0&a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&0&a_{1}&a_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\ldots &a_{n}\\\end{bmatrix}}}
を多項式
p
{\displaystyle p}
に対するフルビッツ行列と呼ぶ。1895年にアドルフ・フルビッツは、実多項式
p
{\displaystyle p}
が安定であること(すなわちその全ての根が複素平面の開左半平面に存在すること)の必要十分条件として、そのフルビッツ行列
H
(
p
)
{\displaystyle H(p)}
の主座小行列式 すべてが正であること(たとえば
Δ
1
(
p
)
=
|
a
1
|
=
a
1
>
0
Δ
2
(
p
)
=
|
a
1
a
3
a
0
a
2
|
=
a
2
a
1
−
a
0
a
3
>
0
Δ
3
(
p
)
=
|
a
1
a
3
a
5
a
0
a
2
a
4
0
a
1
a
3
|
=
a
3
Δ
2
−
a
1
(
a
1
a
4
−
a
0
a
5
)
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}
が成立することなど)を得た。各小行列式
Δ
k
(
p
)
{\displaystyle \Delta _{k}(p)}
(
k
=
1
,
2
,
⋯
)
{\displaystyle (k=1,2,\cdots )}
はフルビッツ行列式 と呼ばれる。
フルビッツ安定行列 [ 編集 ]
工学 の分野や安定性理論 において、正方行列
A
{\displaystyle A}
が安定行列 であるとは、その全ての固有値 の実部 が負 であること、すなわち
R
e
[
λ
i
]
<
0
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,}
が行列
A
{\displaystyle A}
の各固有値
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
に対して成立することを言う。そのような行列
A
{\displaystyle A}
は安定性行列 とも呼ばれる。その理由は、そのような行列
A
{\displaystyle A}
に対する微分方程式
x
˙
=
A
x
{\displaystyle {\dot {x}}=Ax}
が漸近安定 (すなわち
x
(
t
)
→
0
{\displaystyle x(t)\to 0}
(
t
→
∞
)
{\displaystyle (t\to \infty )}
が成立)となるからである。
(行列値)伝達関数
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
がフルビッツ であるとは、その全ての成分の極 の実部が負であることを言う。ここでそのような
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
は、必ずしもフルビッツ行列である必要はなく、また正方行列である必要もないことに注意されたい。この概念とフルビッツ行列との関係として、もし行列
A
{\displaystyle A}
がフルビッツ行列であるなら、力学系
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}
y
(
t
)
=
C
x
(
t
)
+
D
u
(
t
)
{\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}
にはフルビッツ伝達関数が存在する、というものが挙げられる。
連続的な力学系の任意の双曲型不動点 (あるいは平衡点 )が局所的に漸近安定であることと、その力学系のヤコビ行列 がその不動点においてフルビッツ安定であることは、必要十分である。
フルビッツ安定行列の概念は制御理論 において重要な位置を占める。システムは、その制御行列がフルビッツ行列であるなら、安定 となる。その行列の固有値の負の実成分はネガティブフィードバック を表す。同様に、どの固有値も正の実成分を持つようなシステムは不安定となり、これはポジティブフィードバック を表す。
参考文献 [ 編集 ]
Hurwitz, A. (1895). “Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt”. Mathematische Annalen Nr. 46 , Leipzig : 273–284.
Gantmacher, F.R. (1959). “Applications of the Theory of Matrices”. Interscience, New York 641 (9): 1–8.
Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems . Prentice Hall.
Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix , Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP) , May 1970
Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix , SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials , Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)
関連項目 [ 編集 ]
外部リンク [ 編集 ]
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