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フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理（フォン・シュタウト-クラウゼンのていり^[1]、Von Staudt–Clausen theorem）は、数論におけるベルヌーイ数の小数部分に関する定理である。カールフォン・シュタウト (1840)と、トーマスクラウゼン (1840)が独立して発見した。

$n$ を正整数、 $p$ を $2 n$ が $p - 1$ で割り切れるような素数として、ベルヌーイ数 $B 2 n$ にすべての $1/ p$ を加えた数は整数になる^[2]^[3]。つまり、

$B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .$

この定理により即座に、0でないベルヌーイ数 $B 2 n$ の（規約な）分母が、 $2 n$ が $p - 1$ で割り切れるような素数 $p$ の総積であることが分かる。更に、無平方で、6で割り切れる事も導ける。

ベルヌーイ数 $B 2 n$ について、n番目の分母の成す数列は次の通り。

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... オンライン整数列大辞典の数列 A002445.

整数列 $B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}$ は次のようになる。

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, -86579, 1425518, -27298230, ... オンライン整数列大辞典の数列 A000146.

証明

4つの補題を用いる。

$p$ を素数とする。

1. $2 n$ が $p - 1$ で割り切れるならば、

\sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv {-1}{\pmod {p}}.

2. $2 n$ が $p - 1$ で割り切れないならば、

\sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv 0{\pmod {p}}.

補題1,2の証明にはフェルマーの小定理を使う。 $m = 1, 2, ..., p - 1$ について、

m^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

である。

$2 n$ が $p - 1$ で割り切れる（ $2 n$ が $p - 1$ の倍数）ならば、 $m = 1, 2, ..., p - 1$ について、

m^{2n}\equiv 1{\pmod {p}}

であるから、

\sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}{\pmod {p}},

\sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}=(1-1)^{p-1}-1=-1.

より補題1が証明された。ただし、二番目の式では二項定理を用いている。

$2 n$ が $p - 1$ で割り切れないならば、フェルマーの小定理より、

m^{2n}\equiv m^{2n-(p-1)}{\pmod {p}}.

$℘ = ⌊ 2 n / (p - 1) ⌋$ とする。床関数の性質 $℘ < 2 n / (p - 1) < ℘ + 1$ より $0 < 2 n - ℘(p - 1) < p - 1$ 。

$m = 1, 2, ..., p - 1$ 、 $0 < 2 n - ℘(p - 1) < p - 1$ について、フェルマーの小定理より、

m^{2n}\equiv m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}

したがって、

\sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}

S(2n,p-1)\equiv S(2n-\wp (p-1),p-1){\pmod {p}}.

$j > n$ のとき $S (n, j) = 0$ であるから、補題2が証明された。

3. $a,b > 2$ のとき、 $(ab - 1)!$ は $ab$ で割り切れる。

4. 第二種スターリング数は整数である。

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理の証明には、ベルヌーイ数の一般項の公式を用いる。

B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {1}{j+1}}\sum _{m=0}^{j}{(-1)^{m}{j \choose m}m^{2n}}

これは第二種スターリング数 $S (n, j)$ を用いて次のように書ける。

B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {j!}{j+1}}(-1)^{j}S(2n,j)

$j + 1$ を4より大きい合成数とすると、補題3より $j!$ は $j + 1$ で割り切れる。

$j = 3$ ならば、

\sum _{m=0}^{3}(-1)^{m}{\binom {3}{m}}m^{2n}=3\cdot 2^{2n}-3^{2n}-3\equiv 0{\pmod {4}}.

$I n$ を整数とする。 $j + 1$ が素数ならば補題1,2を使って、 $j + 1$ が合成数ならば補題3,4を使って、次の式の成立が分かる^[4]^[5]。

B_{2n}=I_{n}-\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}},

これは示されるべきことであった。

関連項目

クンマー合同（英語版）

出典

^ 『新訂版　数学用語英和辞典: 和英索引付き』近代科学社、2020年12月2日。ISBN 978-4-7649-0624-2。
^ ハーディ, G. H.、ライト, E. M.『数論入門』PHP研究所、2001年7月1日。ISBN 978-4-431-70848-3。
^ 藤原松三郎『代数学第1巻』内田老鶴圃、1929年、126頁。doi:10.11501/1133288。
^ H. Rademacher, Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1973.
^ T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1976.

Clausen, Thomas (1840), “Theorem”, Astronomische Nachrichten 17 (22): 351–352, doi:10.1002/asna.18400172204
Rado, R. (1934), “A New Proof of a Theorem of V. Staudt”, J. London Math. Soc. 9 (2): 85–88, doi:10.1112/jlms/s1-9.2.85
von StaudtCh.「Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend」『Journal für die Reine und Angewandte Mathematik』第21巻、372–374頁、1840年。ISSN 0075-4102。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "von Staudt-Clausen Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
坂田実加. “多重ベルヌーイ数の2-orderと3-orderについて”. 近畿大学大学院総合理工学研究科. 2024年8月15日閲覧。

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