ピン群

特殊直交群 SO(n) が二重被覆としてスピノル群 Spin(n) を持つ様に、直交群 O(n) は 2 つの同型でない被覆群 Pin₊(n) と Pin₋(n) を有する。この両者は、ピン群（ピンぐん、英：Pin group）と呼ばれる。（この名前は、セールの「spin が SO(n) に対応するように、pin は O(n) に対応する」という「冗談」に由来する。）この様な奇妙な状況は、O(n) が（SO(n) と異なり）連結でないことによる（その 2 つの連結成分は、行列式がそれぞれ +1 と −1 の行列の集合である）。

O(n) と SO(n) では、2π の回転は恒等写像だが、ピン群では、Spin(n)　と同様、4π の回転が恒等写像になるものの、 2π の回転では恒等写像にならない。

Pin₊(n) においては、折り返しを 2 度繰り返すと、恒等写像になる。

Pin₋(n) においては、折り返しを 2 度繰り返すと、2π の回転になる。

p ≠ q のとき、Spin(p,q) には 8 個もの異なる二重被覆がある。このうち 2 つのみがピン群として取り上げられるが、これはクリフォード多元環を表現とすることができることに由来する。これらは夫々、Pin(p,q)、 Pin(q,p) と呼ばれる。

関連項目