ビアンキ群

数学において、ビアンキ群 (Bianchi group) は

$\operatorname {PSL} _{2}({\mathcal {O}}_{d})$

という形の群である。ただし d は平方因子を持たない正の整数である。PSL は射影特殊線型群を表し、${\mathcal {O}}_{d}$ は虚二次体 Q(√−d) の整数環である。

この群は、最初に Bianchi (1892) により、今ではクライン群と呼ばれている PSL₂(C) の離散部分群の自然なクラスとして、研究された。

PSL₂(C) の部分群として、ビアンキ群は、3次元双曲空間 H³ の向き付けを保つ等長変換として作用する。商空間 $M_{d}=\operatorname {PSL} _{2}({\mathcal {O}}_{d})\backslash \mathbb {H} ^{3}$ は有限の体積を持つ非コンパクトな双曲的 3 次元多様体であり、ビアンキ多様体とも呼ばれる。基礎体 Q(√−d) のデデキントゼータ函数を用いた体積の正確な公式は、アンベル (Humbert) により次のように計算された。D を Q(√−d) の判別式とし、$\Gamma =\operatorname {SL} _{2}({\mathcal {O}}_{d})$ を H への不連続な作用とすると、

$\operatorname {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} )={\frac {|D|^{3/2}}{4\pi ^{2}}}\,\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}(2)$

となる。M_d のカスプ全体の集合は、Q(√−d) の類群と全単射の対応がつく。任意の非コンパクトな数論的クライン群は、ビアンキ群と弱通約的 (weakly commensurable) であることがよく知られている。

参考文献

• Bianchi, Luigi (1892). “Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici immaginarî”. Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) 40: 332–412. doi:10.1007/BF01443558. ISSN 0025-5831. JFM 24.0188.02. LCCN 28-24764. OCLC 223702365. 
• Elstrodt, Juergen; Grunewald, Fritz; Mennicke, Jens (November 25, 1997). Groups Acting On Hyperbolic Spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag. ASIN 3540627456. ISBN 3-540-62745-6. NCID BA33867572. OCLC 851372121. Zbl 0888.11001 
• Fine, Benjamin (July 17, 1989). Algebraic theory of the Bianchi groups. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 129. New York: Marcel Dekker Inc.. ASIN 0824781929. ISBN 978-0-8247-8192-7. NCID BA07264649. MR1010229. OCLC 804027914. Zbl 0760.20014. https://books.google.co.jp/books?id=1D6crOEoRFEC&redir_esc=y&hl=ja 
• Fine, B. (2001), “Bianchi group”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bianchi_group 
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (November 14, 2002). The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. 219. Springer-Verlag. ASIN 0387983864. ISBN 0-387-98386-4. NCID BA60157321. OCLC 936525755. Zbl 1025.57001 

外部リンク

• Allen Hatcher, Bianchi Orbifolds