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バローの不等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

バローの不等式(-ふとうしき、: Barrow's inequality)は、幾何学において三角形頂点との距離と、角の二等分線の長さに関する不等式である。 デヴィッド・フランシス・バロー英語版に因んで名付けられた。

主張

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ABCの内部の任意の点Pについて、それぞれBPC,∠CPA,∠APB二等分線BC,CA,ABの交点をU,V,Wとする。バローの不等式は次の式である[1]

等号成立条件はABC正三角形Pがその中心であること[1]

一般化

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バローの不等式は任意の凸多角形に一般化できる。n角形の内部の点についての二等分線との交点をそれぞれとする。このとき次の不等式が成り立つ[2][3]

正割関数である。のときとなって、バローの不等式を得る。

歴史

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バローの不等式とエルデシュ・モーデルの不等式

バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式より強力な不等式である。バローの不等式は1937年、デヴィッド・フランシス・バロー英語版The American Mathematical Monthly英語版に投稿したエルデシュ・モーデルの不等式の証明を初出とする[1]。1961年より以前に "Barrow's inequality"の名が使われ始めている[4]

より単純な証明はルイス・モーデルにより発見された[5]

関連

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出典

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  1. ^ a b c Erdős, Paul; Mordell, L. J.; Barrow, David F. (1937), “Solution to problem 3740”, American Mathematical Monthly 44 (4): 252–254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713, https://jstor.org/stable/2300713 .
  2. ^ M. Dinca: "A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality". In: Articole si Note Matematice, 2009
  3. ^ Hans-Christof Lenhard: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". In: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF01650566 (German).
  4. ^ Oppenheim, A. (1961), “New inequalities for a triangle and an internal point”, Annali di Matematica Pura ed Applicata 53: 157–163, doi:10.1007/BF02417793, MR124774 
  5. ^ Mordell, L. J. (1962), “On geometric problems of Erdös and Oppenheim”, The Mathematical Gazette 46 (357): 213–215, JSTOR 3614019, https://jstor.org/stable/3614019 .

外部リンク

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