ノート:集合論

話題

「集合論は大きく二つに分けることができる。一つは素朴集合論であり、もう一つは公理的集合論である。」は変です。解析学に置き換えて、「極限論は大きく二つに分けることができる。一つは素朴な『どんどん近付く』であり、もう一つはε−δ論法である」と書けば、どこが変かがわかるはずです。どう直しましょう？ Wd 2005年6月12日 (日) 12:21 (UTC)

「数直線と平面の対応の例」の節が数学的に間違っていると書かれていますが、どの箇所のことでしょうか？[0,1) と [0,1)×[0,1) を対応させるとき、無限小数の扱いが厳密さに欠けてるとは思いますが、他に明確に間違いと呼べる箇所は私には見つけられませんでしたので。Zaraki 2005年6月13日 (月) 05:13 (UTC)

0.090909… が何に対応するか考えればわかります。後半の平面充填曲線を使う方法も間違っています。線分から正方形への全射は得られますが、全単射にはなりません。Wd 2005年6月13日 (月) 05:56 (UTC)

閉区間から閉正方形に対してでないと全単射にならないということですね。記事中の方法では [0,1)×[0,1) から [0,1) への単射が存在するとはいえると思いますが、これは大丈夫でしょうか？これを使って R² から R への単射が存在することをいい、R から R² へは自明な単射が存在するので、 R と R² の間に全単射が存在する、というのはどうでしょう？Zaraki 2005年6月13日 (月) 09:28 (UTC)

無限小数展開を使う場合、一桁ごとに区切るのではなく、0*[1-9] にマッチする連を単位に区切ることで、(0,1] と (0,1]×(0,1] の間の全単射を構成します。平面充填曲線を使う場合、充填曲線で線分から正方形への全射を作り、射影で正方形から線分への全射を作り、この二つからベルンシュタインの定理に持ち込みます。なお、この手の初歩的な議論は、ここで質問するより信頼できる教科書を読んだ方が早いです。まともな教科書なら、必ず最初の方に載っています。Wd 2005年6月13日 (月) 14:18 (UTC)

説明ありがとうございます。それはそうとして、現在の記述から数学的に間違いの無い証明へと書き直すのに上記のように書き換えるのが一番早いのではないかと思ったわけですが、その中に間違いは無いということでよいですか?それでよければそのように書き換えようと思いますし、まだ不正確な点があるようなら、抜本的に書き換えようと思います。

一桁ごとに区切るか、0*[1-9]の連に区切るかということに、単なる技巧以上の意味が有るのであれば、その本質的な意義を失わないように書き換えなければならないと思いますが、何か有るでしょうか?Zaraki 2005年6月14日 (火) 00:27 (UTC)

記事中の方法では、そもそも写像を構成しません。1/10 は 0.100000… と 0.099999… の二通りに表現できるため、単射かどうか以前に一価になりません。

そもそも、ここで「数直線と平面の対応の例」が必要とは思えないので、ばっさり削除でよいのでは。Wd 2005年6月14日 (火) 03:08 (UTC)

確かに小数展開の仕方については、「最後に0だけが並ぶことのないように記述するものとする」とでも、一言補う必要がありますね。とりあえずそれで間違いではなくなると思いますが。

問題は、そもそもこの証明を書く意味があるか、ということですが、集合論の定理として、R と R² が同じ濃度を持つこと、区間[0,1]と R が同じ濃度を持つこと、等は重要なわりに証明が容易なので、読者の理解を深めるために記述があったほうがよいと、私は思います。ただ、この記事の中に含める必要は必ずしも無くて、たとえば基数辺りに移すのでも良いかもしれません。Zaraki 2005年6月14日 (火) 04:04 (UTC)

補足を加えただけではダメです。そこで、0.090909… 問題が出てきます。Wd 2005年6月14日 (火) 04:51 (UTC)

「数直線と平面の対応の例」が数学的に間違っている件への対応について、現在、三案が出ています。

1. 削除する
2. 修正する
3. 他の項目に移動する

間違った記述を放置するのは好ましくないので、とりあえず、削除します。 三案のうちのどれを採用するにしても、それで困ることはないでしょう。 Wd 2005年6月15日 (水) 05:00 (UTC)

(誤読による反論につき削除) Wd 2005年6月16日 (木) 02:14 (UTC)

とりあえず、修正したものを載せておきました。なお、修正したものは「対応の例」というよりは、「全単射の存在証明」というべきものになったので、節のタイトルも合わせて変えました。もし、まだ間違いがあるようなら 0*[1-9] の連を使った証明に書き換えましょう。

さて、別記事に移すかどうかですが、もし移すとして私に思いつく移動先は全単射に例として載せるか、基数か実数、または次元にその性質のひとつとして、記述するというところですかね。もしくはゲオルク・カントールに彼のなした証明の例として載せる、などでしょうか。

記事中に「素朴集合論の範囲でなされた主要な証明」という節でも作ってみても良いかもしれませんね。ベルンシュタインの定理とか、R と [0,1] の全単射の存在とか、載せておきたい定理もいくらかありますし、「素朴集合論の矛盾」の節が存在することを考えると記事全体のバランスもよくなりそうな気がします。その場合、現在リダイレクトになってる素朴集合論という記事名で独立させても良いと思います。Zaraki 2005年6月16日 (木) 02:44 (UTC)

上の投稿後に履歴を見ました。0*[1-9]を使うほうがダイレクトに全単射を構成できてよいとも思ったのですが、面倒だったので書き換える部分が少なくてすむような証明にしました。別にこだわりがあるわけではないので書き換えてもらえるならそれでも全くかまいません。

そして、これは私の純粋な疑問で、ここでの議論がふさわしくないのかもしれないのですが、[0,1)×[0,1) から [0,1) への単射とした場合にはどこが問題になるのでしょうか？ 0 は 0.0000.... としか小数展開できないので、「二通りある場合には｣最後に 0 だけが並ぶことの無いように行う、という条件の下でも表現できると思いますし、0.999.... は元々区間に含まれていないので、選ばれることも無く、厄介な例外の原因になったりもしないと思ったのですが。もちろん、現行の (0,1] を使う書き方を元に戻したいわけではないのですが。Zaraki 2005年6月16日 (木) 03:32 (UTC)

とりあえず、構成の変更についてです。他のことについては後日。

カントールの項目で業績として紹介するなら、カントールの原論文を調べて、現在いくつか知られている証明のうちカントールが最初に発表したものを選ぶ作業が必要になります。その手間を惜しまない方がいらっしゃれば歓迎ですが、そうでなければ、カントールの項目に移転するのは避けたほうが良いでしょう。無難なのは基数の項目ですが、連続無限の項目を新設する手もありです。

「素朴集合論の範囲でなされた主要な証明」という節を作るのは、あまり良い考えとは思いません。「初期に発見された主要な定理」のほうが良いかと思います。最初の節を問題ありとしてばっさり削除した際に書きましたが、「素朴集合論」と「公理的集合論」が別分野として並立するものと考えるのは間違いです。「どんどん近付く」とε‐δ論法のような記述の厳密さの違いでしかありません。残念ながら、この間違いは広く信じられていていますので、「素朴集合論」を強調する表現は勘違いを助長する問題があります。

Wd 2005年6月17日 (金) 03:27 (UTC)

「素朴集合論」と「公理的集合論」が、例えば、「位相幾何学」と「代数幾何学」のように両立するものと誤解されるのは問題である、ということですか? 確かにそのような誤解が広まっているなら「素朴集合論」という用語は出来るだけ控えて「初期の集合論」とかに置き換えた方が良いと思います。節名についても「初期に発見された主要な定理」で書き換えてみようと思います。Zaraki 2005年6月26日 (日) 02:24 (UTC)

個人的には、R^2とRの濃度が等しいことを集合論の項目で議論しているのが不思議です。集合論の最も主要な結果がこれだとは思えません。それに、この証明も、ベルンシュタインの定理程の強力な道具を使ってしまうならば、R^2～(2^N)^2～2^2N～2^N～Rでよくないでしょうか。----以上の署名のないコメントは、210.151.155.139（会話/Whois）さんが 2005年6月27日(月)18:43 に投稿したものです。

あと、公理的な集合論が多くの数学の分野の土台となっていることを書いたほうがよいのではないでしょうか。フォンノイマン流の自然数定義といったものこそ書かれるべきでは。利用者:nuc 2005年6月28日 (火) 03:50 (日本時間) ----以上の署名のないコメントは、210.151.155.139（会話/Whois）さんが 2005年6月27日(月)18:50 に投稿したものです。