ノート:素数が無数に存在することの証明
お願い
[編集]難しすぎて、ユークリッドの以外はわかりません。いや、それは私が数学苦手だし、偉く高尚そうなので仕方ないんです。ただ、最後の現代のやつ、式そのものは簡単なのに、これで素数が無限に存在することを証明している、と言うのがわかりません。少なくとも、字面ではそう書いていませんよね。だから、そこからどうしてそう判断できるか、を書いてはいただけませんか？--Ｋｓ（会話） 2013年7月1日 (月) 12:27 (UTC)
- 「最後の現代のやつ」とはフィリップ・サイダックによる証明のことですね。具体的な例で示してみますね。
- 例えば n=2 とすると、N2=2×3=6 は少なくとも2つの互いに相異なる素因子2と3を持つことがわかります。
- N3=N2×(N2+1)=2×3×7=42 は少なくとも3つの互いに相異なる素因子2と3と7を持つことがわかります。
- N4=N3×(N3+1)=2×3×7×43=1806 は少なくとも4つの互いに相異なる素因子2と3と7と43を持つことがわかります。ここで、1806+1=13×139ですから、
- N5=N4×(N4+1)=(2×3×7×43)×(13×139)=3263442 は少なくとも5つの互いに相異なる素因子2と3と7と43と13(または139)を持つことがわかります。
- これを繰り返すと、Nm+1=Nm×(Nm+1) は少なくとも m+1 個の互いに相異なる素因子を持つことがわかります。
- したがって素数の個数を M 個とすると、M < m+1 となるような正整数 m を取ることができるから矛盾する。
- こんな解説ではいかがでしょうか。--敷島健一（会話） 2013年7月1日 (月) 15:24 (UTC)
- なるほど、そういう話なのですね。それはよくわかりました。では、それを書いて下さいませんでしょうか。よろしくお願いします。現在の文は、素数が無限に存在する、という結論の手前であり、わかる人にはわかるのでしょうが、私にはわからなかったので。よろしくお願いします。--Ｋｓ（会話） 2013年7月1日 (月) 16:27 (UTC)
なるほど、「素数が無限に存在する」という命題の意味が「無限個の素数の具体的な値を明示的に表す」ことだとご理解なさっているようですね。そうではなくて、「素数が無限に存在する」という命題の意味は「ある有限個の素数を与えると、それ以外の素数が存在する」ということなのです。ですから、ユークリッドの『原論』第9巻命題20は、
- 「素数の個数はいかなる定められた素数の個数よりも多い。」
という表現になっているのです。--敷島健一（会話） 2013年7月1日 (月) 17:03 (UTC)
- 参考文献
- 『ユークリッド原論』中村幸四郎他訳（縮刷版）、共立出版、1996年、218頁。ISBN 4-320-01513-4。 - リンクは2011年発行の追補版です。
- いや、そうではなくて、この式と文章の説明で、その最後が「だから素数の数は無限に存在する」になってないでしょ？そこを埋められやしないか、という話なのですが。私、数学は弱いですが、これでも一応理系なので、それでわからないと、もっと多くの人がわからないのでは、と思うのですが。--Ｋｓ（会話） 2013年7月1日 (月) 23:37 (UTC)
- 大変失礼しました。単にフィリップ・サイダックによる証明が途中で途切れていて、証明の最後が「だから素数の数は無限に存在する」になってない点が不完全だというのが問題だったのですね。やっと、ご指摘の問題が分りました。これから追加する文章を考えてみます。もし他にも何か問題点がありましたら、ご指摘ください。以上、宜しくお願い致します。--敷島健一（会話） 2013年7月3日 (水) 14:09 (UTC)
- そう言って下さるとありがたいです。よろしくお願いします。--Ｋｓ（会話） 2013年7月3日 (水) 14:20 (UTC)
- お世話になりました。ありがとうございました。--Ｋｓ（会話） 2013年7月6日 (土) 02:28 (UTC)
- そう言って下さるとありがたいです。よろしくお願いします。--Ｋｓ（会話） 2013年7月3日 (水) 14:20 (UTC)
- 大変失礼しました。単にフィリップ・サイダックによる証明が途中で途切れていて、証明の最後が「だから素数の数は無限に存在する」になってない点が不完全だというのが問題だったのですね。やっと、ご指摘の問題が分りました。これから追加する文章を考えてみます。もし他にも何か問題点がありましたら、ご指摘ください。以上、宜しくお願い致します。--敷島健一（会話） 2013年7月3日 (水) 14:09 (UTC)
- いや、そうではなくて、この式と文章の説明で、その最後が「だから素数の数は無限に存在する」になってないでしょ？そこを埋められやしないか、という話なのですが。私、数学は弱いですが、これでも一応理系なので、それでわからないと、もっと多くの人がわからないのでは、と思うのですが。--Ｋｓ（会話） 2013年7月1日 (月) 23:37 (UTC)
「a, b, …, k を任意に与えられた素数のリストとする。」とするユークリッド証明の前提
[編集]ネット上で検索すると別な日本語での説明が散見されます。例えばhttps://mathtrain.jp/primeでは 「素数が有限個しかないと仮定する。その有限個の素数全体を p1,p2,⋯,pn とおく。」のように。
「a, b, …, k を任意に与えられた素数のリストとする。」では”任意”なので２を含まない素数リストが出来ますが、 ２を除く素数はすべて奇数であるため、（２を除く）P+1は必ず偶数となり、２で割り切れてしまいます。 （追記）確かにPには含まれないのは分かりますが。
また正確な出典もありません。
--111.102.66.153 2020年11月19日 (木) 09:23 (UTC)間違ってたらごめんなさい --111.102.66.153 2020年11月19日 (木) 09:39 (UTC)間違ってたらごめんなさい