ノート:射影空間
ハウスドルフ性
[編集]本文中に
- 連続写像 Sn → RPn があるので、RPn のコンパクト性およびハウスドルフ性は n 次元球面 Sn のそれから従う。
とありますが、これは正しいですか？コンパクト性はともかく、ハウスドルフ性はこれだけでは言えない気がするのですが。（細かいことを言えば、コンパクト性を言うのも、この写像が全射だからとひとこと付け加えたほうが親切な気もします）--123.224.169.131 2008年9月7日 (日) 03:44 (UTC)
- 一般に、「全射連続写像 f : A → B があって、A がハウスドルフなら B がハウスドルフ」は嘘なので、その意味では正しくありません。「f: A → B が全射かつ開写像であって、核 {(x, y) ∈ A × A | f(x) = f(y)} が A × A の閉集合ならば、B はハウスドルフ」を用いるのが標準的な道筋のようですが、今の場合に必要な前提を示すためには、
- Sn → RPn が、対称の位置にある2点を同一視するというもので、しかも連続
- Sn がハウスドルフ
- あたりが効いてきます（参考文献：鎌田正良『集合と位相』近代科学社）。したがいまして、御指摘の記述は概説として間違っているとも言い切れないように思いますが、確かに誤解を与えかねませんので修正しました。論理関係を詳述するとかえって分かりにくくなりそうですし、多少ぼかしても、この方が執筆者の意図を反映しているかな、と考えたものですが、より適当と思われる表現があれば直して頂いて構いません。--白駒 2008年9月11日 (木) 10:42 (UTC)