ノート:実数

素人むけに言いかえをしてくださっているようですが、素人から見ると 「上に有界なのに上限がないってどういう場合だろう」 というのが率直なところです。これについての補足もしていただければと思いますHoge- 03:34 2003年5月22日 (UTC)

冒頭。有理数列が収束するときの収束値が実数と言ってしまうと、実数が既に 定義されていないとおかしい。 が、どう素人にうまく伝えようかと考えると 私には書き直せなそうなので、文句だけつけて逃げることにする。 --61.195.111.102 19:42 2004年3月9日 (UTC)

0以外のすべての実数はただ一通りの無限小数表示を持つ。DYLAN LENNON 2006年1月24日 (火) 04:21 (UTC)

日本語版で全く説明されないのも問題だと思うので書きますが、無限小数表示は一意に決まらないこともあって、たとえば（以下すべて十進法）1.000... = 1 = 0.999...です。0.000....は0の「無限小数表示」です。--Makotoy 2006年5月13日 (土) 10:23 (UTC)

「無限小数表示」の定義

編集合戦の原因となったすれ違いの原因にようやく気付きました。無限小数表示の定義の違いだったようです。

途中からすべて0になってしまうものを「それは有限だから、無限小数表示とは言わない」とすれば、たしかに0以外のすべての実数はただ一通りの無限小数表示を持ちます。すなわち 1.000... や 0.000... などを無限小数表示と見なさない立場です。すると実数1の無限小数表示は 0.999... しかないし、実数0は無限小数表示で書けません。

「0以外のすべての実数はただ一通りの無限小数表示を持つ」という記述が正しくないとする人は、無限小数表示として、1.000... のように0が無限に続く場合も含めて考えているわけです。

どちらの定義が一般的かというと、たぶん後者ではないかと思いますが、皆さんはどうお考えでしょうか。--Lbyl 2006年5月15日 (月) 10:56 (UTC)

僕は「途中からすべて0になる表示は有限だから無限小数表示とは言わない」という言い方ははうわべの言葉遣いに拘泥しているとしか思えないし、そういうふうにしている数学の文章を見た記憶はありません。たとえば、0.1と0.333...の和を計算するときに0.1 = 0.0999...とおき直してから0.0999... + 0.333...を計算する人がいるでしょうか？この問題で0.1000...という考え方を認めずに、しかも少数第一桁の1と3を足そうとすれば複雑怪奇な「実数」の計算規則を導入せざるを得ないように思えます。たとえ「途中からすべて0になったりはしない表示」という概念を（どう呼ぶかは別にして）考えるにしても、それをわざわざ今の本文に書き込む必要性はないと思います。この概念に重要性が認められないからです。--Makotoy 2006年5月15日 (月) 11:31 (UTC)

DYLAN LENNON 氏（およびその多重アカウント）が依拠拘泥しているのがこのレジュメ（PDF）であることは en:User talk:WAREL からわかります。当該のレジュメでは、0 - 9 からなる片側無限列を単に小数とよび、（有限個の例外を除いて各位 0 であるという意味で）本質的に有限列となるものを有限小数、それ以外を無限小数と呼ぶと言ったように、有限小数と無限小数が排他的になるような定義を便宜的に採用しています（もちろん小数と実数の小数表示ともきちんと区別されています）。確かに定義の仕方は不自然ではありませんし、実際 0 を犠牲にして表示の一意性が確保されているのですが、レジュメのそれ以降の部分でその一意性を用いている場面が見当たらないので、レジュメの定理 2.2 にインパクトを持たせる（あるいはステイトメントをすっきり述べる）ためという以外にこの定義を採用している理由がよくわかりません。小数表示が一意でないという議論の〆に定理 2.2 がきていることが不思議なぐらいなのですが、DYLAN LENNON 氏はこれに引っかかってしまったようです。

翻って、本文ですが、実数を「有理数の完備化」の結果によるものであるという出だしで、俗な言い方として無限小数展開可能ということを持ってきているので、表示可能性だけが問題であり、表示の一意性は無関係ですから表示の一意性に拘泥すれば、完備性を扱っているという文意を損ないます。また皆さん仰るように、四則演算の定義などもふくめて議論するならば有限表示を排他的に扱うのは非常に不便で、普通はそのようなことはしませんし、そういう意味で少なくとも「有限小数・無限小数」という概念の排他性に拘泥するひつようはありません。どうしてもというなら当該部分を「小数表示」「（無限）小数表示」「必ずしも有限でない小数表示」などのように変えることもできるでしょうけれども、完備化という観点からすれば無限小数展開が本質的な考察の対象となるのですから、有限・無限の表面的な字面に拘るのはやはり文意を損なっているといってよいでしょう。いずれにせよ KLIP 名義で行われた編集は改悪であると結論付けることができます。

文章が持つ（数学的なことも日本語的なことも含む）意味、および文脈をきちんと踏まえなければ論理を損ないます。DYLAN LENNON 氏はそうやって文章の中身を取り損ねてしまったまま瑣末なことに拘泥しているのですし、そのことは英語版でも関連する項目で、根気強い方々が呆れながらに何度も何度も繰り返し指摘なさっていたことなわけなのですが、好転する様子は一向に見られませんね。 --Lem 2006年5月15日 (月) 14:20 (UTC)

私は数学が専門ではないので、あまり深く首を突っ込むといけないかもしれませんが、お二人の主張を大筋で理解し、同意します。それはともかく、この記事はどうしましょうか。過去の経緯はよく知らなかったのですが、DYLAN LENNONさんと同一人物と思われるユーザーKLIPさんにはブロック依頼が出ているようですね。小太刀さんがさじを投げてしまいましたが……。とりあえずKLIPさんの会話ページに用件を書いておきました。--Lbyl 2006年5月16日 (火) 11:44 (UTC)

保護解除依頼に出しました。--Lbyl 2006年5月17日 (水) 16:00 (UTC)

載せる載せないは別としても、「0以外のすべての実数はただ一通りの無限小数表示を持つ。」という主張は正しいということが、証明できます。この命題を否定するためには、 実際にその（ただ一通りの無限小数表示を持たない）実数を持ってこなければいけない。 出来ますか？218.133.184.53 2006年7月1日 (土) 13:39 (UTC)

あなたが用いている「無限小数」という用語は通常用いられるそれとは異なる独自用語であるとすでに何度も申し上げていますので、それがわからないあなたが居られる場所など一切ありません。--Lem 2006年7月1日 (土) 17:34 (UTC)

あなたの用いる言葉なんて、誰も興味ない。218.133.184.53 2006年7月1日 (土) 17:55 (UTC)

お二人ともとりあえずは保護解除を目指しましょう。建設的な議論のためにも個人攻撃はなしでお願いします。

218.133.184.53さんのおっしゃる「0以外のすべての実数はただ一通りの無限小数表示を持つ」というステートメント自体は、「無限小数表示」という言葉の意味を上でLbylさんが説明しているように解釈する限り数学的には「正しい」だろうと思います。しかし、今問題になっているのはこの事実の重要性です。Wikipediaはデータベースではないので、事実であれば何でも書き込むべきだということにはなりません。実数の項目で目指されるべきは実数について読者がよりよい理解に至れるような（百科事典スタイルの）記述です。この観点からすると、「無限小数表示の一意性」についての記述はあまり重要でないことにスペースを割きすぎて大事な説明の流れを断ち切ってしまうからだめ、というのが僕の認識です。

218.133.184.53さん、「無限小数表示の一意性」にどんな重要性があるのか説明していただけませんか？--Makotoy 2006年7月2日 (日) 22:53 (UTC)

正しさを認めていただき、有り難うございます。Makotoyさん。 横川教授のレジュメにあるように、この定理は、実数概念に深くかかわるものなのです。 218.133.184.53 2006年7月4日 (火) 18:54 (UTC)

ここに書いてあるというだけではWikipediaにその記述を追加する理由にはなりません。僕にとっては、むしろ実数の枠組みでは 1 = 1.0000...であることや、二つの表示1.000...と0.999...とが同じものを表していることを理解することの方が大事なことに思えます。普通の感覚では異なった表示は違うものを指し示すというふうに受け取られるだろうし、少数表示がその意味においてだいたいうまくいっているということの指摘は、上にあげたような状況を説明しなければ本末転倒です。--Makotoy 2006年7月4日 (火) 23:10 (UTC)

そこに書いてあるというだけではありません。たとえば、早大教授足立恒雄の「数ーその体系と歴史」という本にも、「無限小数を考えた時に、実数論は出来上がった」という記述があります。実数の持つ直線性は、小数表示によって築かれたのです。218.133.184.53 2006年7月5日 (水) 06:00 (UTC)

僕は無限小数の概念全体が些末なものだといっているわけではありません。足立さんの本には218.133.184.53さんのいう意味での（つまり、2.345や2.345000...は無限小数ではなく、2.34999...こそが無限小数だ、という意味で）無限小数が述べられているのですか？それから、（実）数の体系を直線と結びつける考え方は少なくとも古代ギリシャにまでさかのぼれると思いますが、その頃ギリシャの数学者は無限小数を知らなかったはずです。--Makotoy 2006年7月5日 (水) 06:22 (UTC)

無限小数がいつ頃出来上がったかは、数学史研究家でもあらせる足立さんは、わからないので知りたいそうです。デカルトが、有理数や代数的数だけが数だと考えていたことを考えると、比較的最近のはずです。足立さんの主張の詳しくは、足立さんの本をお求めください。218.133.184.53 2006年7月5日 (水) 06:36 (UTC)

218.133.184.53さんが挙げられた本の該当する箇所を確認しましたが、そこで「途中から0が続いたりはしない表示」が取り上げら荒れているようには見えませんでした。むしろ、その直前にある無限小数の定義は0.5000...も無限小数として認められるように読めます。本の字面を断片的に引用されてそれが218.133.184.53さんの主張を指示するものになっているかどうかは自分で調べろといわれても困ります。218.133.184.53さんの言葉でなぜその記述が必要なのかを説明していただけませんかか？

どうしてもこの無限小数表示の一意性についての記述を入れたいのであれば、小数#無限小数に

無限小数を用いることによってどんな実数をも表示することができるようになる。ほとんどの場合に異なった無限小数表示は異なった実数を与えるが、0.4999...のように途中から9がずっと続くような表示は9の列の直前の数字を1つ増やして後は0を続けたものと同じ実数を与える（例えば0.4999...と0.5000...は同じ実数を表している）ことに注意しなければならない。0.999...が1に等しいことの証明も参照のこと。

という記述を追加するのはどうでしょう？--Makotoy 2006年7月6日 (木) 22:47 (UTC)

保護解除に向けた新案

無限小数表示に関しては実質的に合意が形成されたと思いますが、現在の記事のまま保護解除しても再び荒らされる可能性があります。そこで、（定義とか表示よりも）実数が様々な分野でどのように使われているかということに重点を置いた記事にして、少数表示がらみの瑣末時に対するハードルを高くすることを提案します。新案を利用者:Makotoy/実数で作成中です。--Makotoy 2006年6月17日 (土) 04:32 (UTC)

カテゴリ

Category:数学に関する記事 の付加を Wikipedia:管理者伝言板#保護ページの編集依頼 で依頼されていますが、つけてもよろしいでしょうか。--Calvero 2007年3月3日 (土) 17:21 (UTC)