ノート:原始元 (有限体)

体の拡大の一般的な場合

ARAKI Satoruさん：多数ご指摘いただき、また、修正いただき、感謝いたします．一点だけ、unit（単数、単元とかと訳しますが）を一律に 1 としたとき、$Q$ の円分拡大の場合はこれでよいのですが、他の単数が複数あるような体の拡大のときには、やはり単元とか単数とか（1 ではないunit）の (q-1)-べき根に対しても考慮すべきではないかと思うのですが、いかがでしょうか．--Enyokoyama（会話） 2014年6月11日 (水) 12:49 (UTC)

Enyokoyamaさん：ご指摘ありがとうございます．思い込みで編集して不勉強を晒してしまいました．B. L. van der Waerdenの「Algebra」や「数学辞典」で確認したところ，原始元は単純拡大 L/K に対して定まっていて， a ∈ L が L = K(a) を満たすときにいうそうです．なので少なくとも僕が変えた後の定義はコレと一致しませんね．

例： F₉ = F₃[x]/(x² + 1) とおいて変数 x の自然な準同型像を i とおけば，関係式より i² = -1 なので i⁴ = 1 ゆえ 1の原始 (9 - 1) 乗根ではありませんが．F₉ = F₃(i) です．（もちろんF₃は自然な埋め込みでF₉の部分集合と見做して．）

しかし，これを単元に戻してもおかしいと思います．そもそもどの単元なのか指定されなければ原始 (q - 1) 乗根かどうか判定しようがないでしょう？いずれにせよ上述の定義もあったので，もし元の路線で定義するとしても出典を明示して，他の（あるいは同値な？）用法にも言及した方がいいと思います．結果的に単純拡大をする添加元として原始元を定義することになれば記事のタイトルから有限体を取り除いて一般論を論じた後，具体例として有限体について示せば十分だと考えます．--ARAKI Satoru（会話） 2014年6月11日 (水) 18:03 (UTC)

ご返信に感謝いたします．その通りです．有限体の場合もどのような拡大の単元かを先に定義しないといけないのです．simple extensionが先だったかもしれません．--Enyokoyama（会話） 2014年6月11日 (水) 18:36 (UTC)

英語版(en:Primitive_element_(field_theory)#Definition)を見ると，この辺りの事情がもう少し詳しく書いてありました．これを見る限りこの文脈におけるunitの訳語は1で正しいようです．またRomanを引用して，ここで云う「原始元」(group primitive element)は「原始元」(field primitive element)だが逆は成り立たないとも注意しています．これらを反映しておくべきですね．時間があるときに僕が手を加えるかもしれません． --ARAKI Satoru（会話） 2014年6月12日 (木) 04:37 (UTC)