ノート:代数的数

「整数や有理数は代数的数である」
「代数的数同士を足しても引いても掛けても割っても、やはり代数的数になることが分かる」

はて。整数は割り算について閉じてないから、矛盾しとらん？上の文は「整数 $\subset$ 代数的数」という意味なのかな。もしそうなら「整数全体は代数的数全体に含まれる」にすべき。詳しい人、よろしく‥Zzz。 --HarpyHumming 16:54 2004年2月28日 (UTC)

どうやら、整数とか代数的数というのを、集合とその元と二重の意味で捉えておられるようですが、整数 ∈ 整数全体、代数的数 ∈ 代数的数全体、したがって、「整数は代数的数である」 ⇔ 「整数全体 ⊂ 代数的数全体」となるのですから、何も矛盾はないと思いますが。--61.195.111.9 08:58 2004年3月12日 (UTC)

ごめんなさい、混乱してました。「整数は代数的数である」を読んだとき、代数的数を環とか体と同じ集合のクラスの名称だと思って読んでたようです。数学難しいから嫌い〜(嘘)--HarpyHumming 11:38 2004年3月12日 (UTC)

前の版〜。

上の代数的方程式の a_n を 1 とするとき、その解となるような複素数を代数的整数という。この名称は、代数的整数となるような有理数は整数であることから来ている。代数的整数同士を足しても引いても掛けても代数的整数になることが分かるので、代数的整数全体は環になる。

これは、

代数的整数の中で有理数であるものは整数である
あるいは、代数的整数と有理数の共通集合は整数である

と言いたかったんだけど。英語版にそんなようなこと書いてあったもん。ノート:整数の有理整数の名前の由来を理解するにはそれしかなさそうだったし。 --HarpyHumming 01:41 2004年3月6日 (UTC)

上記の HarpyHumming さんの意見に特に反論がないため、代数的整数の由来として、

n = 1 の時にこの解が整数であることから来ている

というのは誤解によるものと判断し、

代数的整数の中で有理数であるものは整数に限ることから来ている

と変更しました。--Zaraki 2004年9月24日 (金) 04:27 (UTC)[返信]

定義をどう書くか

この編集で「定義」節とかなりかぶる「概要」節が追加されました。いまのままでは記述の重複が甚だしいのでいっそ「体論・環論〜」節にある「Qの有限次拡大の元」というのを定義節に移すことにしてはどうでしょうか。--Makotoy 2007年12月26日 (水) 14:05 (UTC)[返信]

概要という言葉の意味を考えれば重なってて当然でしょう。他節と全く内容に重なりがないのなら概要とはいわんでしょう。それよりもこの編集が問題です。代数的数は個々の多項式に対して定義されるものではなく、多項式が与えられていようといまいと代数的数は代数的数なのであきらかに間違いです。ウィキペディアのような所にこのような間違いを書かれるのは迷惑です。その他も文脈が前後するなど文章の筋が通っていません。Makotoyさん。あんたどんだけ学力低いんですか？数理の院生が代数的数のような基本的な用語の定義も満足に書けないなんて前代未聞ですよ。この編集が悪戯ではなくて真面目に書いたつもりのものならMakotoyさんは数学科をやめるべきではないでしょうか？そのくらい酷い学力です。ここは誰でも編集できますが、だからといって間違いでもなんでも書いて良いわけではないでしょう。--スピロット 2007年12月28日 (金) 03:33 (UTC)[返信]

2009年9月7日の変更

2009年9月7日に、「代数的数」の項目を改稿したものです。

今までの内容は、ほとんど 2007年12月26日 (水) 05:11に、放置露店さんが改稿されたものですが、修正すべきと思える点が多くありましたので、失礼ながら全面的に修正させて頂きました。

改稿の理由を書いておかないと、放置露店さんおよび、閲覧された方々が戸惑うかと思いますので、ここに、私がどういう考えで修正したかを書いておきます。

これを読んで、編集前の方がいいと思える部分や、さらに修正すべきだと思う点について、ご指摘頂ければと思います。

概要
- 「このように代数的数は多項式と密接なつながりを持つ数の集合であるので、～」の削除。
  - これだと、代数的数は、多項式に付随した概念と思われてしまうのと、代数的数を研究する分野は、「代数的整数論」とは限らないので(「解析数論」「代数幾何」など多くの分野で研究されています)、削除しました。
定義
- 代数的数の定義
  - 変更前では、0 多項式も許されてしまい、代数的数でない数も代数的数となってしまうので、モニック多項式に変更しました。(a_n != 0 の変更でもよかったのですが、有理数係数の場合、モニックにするのが成書や論文で多いので。)
  - また、有理整数を係数とする多項式の根で定義する場合も多いので、追記しました。
- 「定義多項式」の削除
  - 代数的数を根に持つ多項式を「定義多項式」と呼ぶことがないので、削除しました。論文でも α を根に持つ有理係数多項式とかいうのが普通ですので。ただ、私の知ってる範囲のことなので、「定義多項式」という言葉が普通だという分野もあるかもしれません。
- 「そのために最小多項式は代数的数の性質をよく反映していると考えられている。～」の削除
  - 「最小多項式が代数的数の性質をよく反映していると考え」は、編者の主観であり、数学的な考えではないので削除しました。
  - 代数的数の定義で、モニックな有理係数多項式にしたので、残りの部分も削除。(というより、最小多項式で、モニックにしないのは、最小多項式を、有理整数多項式で表現した時だけですけどね)
- 共役数(旧版:共役な代数的数)
  - 旧版ですと、共役数は常に２つしかないように受け取られてしまいそうなので、書き直しました。
- 「また、代数的数」～「体論・環論と代数的数」の前まで
  - 代数的整数の定義だけ残し、後は全部削除しました。削除した部分は、代数的整数の説明でもないし、あの場所で記述する必要がないと思われるので。
「体論・環論と代数的数」
- 章名「体論・環論と代数的数」の変更
  - 代数的観点、数論的観点、集合論的観点と章を分けたので、名称を変更しました。
- 体論の部分について
  - 「(1) 代数体」としましたが、しっくりこないかもしれません。他にいい題名があれば提案お願いします。
  - 内容は、旧版を元に、編者の主観を削除し、それに合わせ文章を訂正しました。
  - 代数的数の次数については、初学者は、間違えてしまいやすいので、追加しました。
  - ガロア拡大うんぬんの部分は、ここで書くより、ガロア理論の方を見てもらったほうがいいと思い、記述を簡単にしました。
  - 解の公式の部分も、既に別項目が立っているので、そちらを参照してもらった方がいいので、削除しました。
- 環論の部分について
  - 旧版の内容を元に、代数的整数の基本的な性質2点を追加しました。(ノートの最初の方でも質問された方がいるようなので)
数論的性質
- 新たに追加しました。数論的な方面からみた代数的数は、もっと語ることが多いのですが、前提が多かったり、初学者でも興味がわきそうとなると、あまりなく、今回、有理数近似だけを追加しました。もっとこういうことを追加したらということがありましたら、提案もしくは、本文に追加して頂ければと思います。
集合論的性質
- 旧版で、「関連する概念」という章を書き直しましたものです。旧版ですと、超越数全体の集合が非可算無限であることが非難の対象と読めてしまいますが、数学史の書籍を見ても、そういった記述はなかったので、削除しました。ただ、カントールやクロネッカーの書簡を読んで判断したのではないので、もしそういう記述がある文献があるのでしたら、お教え下さい。

以上です。まだ、不明な点がありましたら、ご遠慮なくコメントを頂ければと思います。

長々と書き連ねてしまい、申し訳ございません。それでは、失礼します。60.236.238.241 2009年9月7日 (月) 10:07 (UTC)[返信]

こんにちは。60.236.238.241さんの改稿でだいぶ記事がよくなったのではないかと思います。とりあえず一部をウィキペディア風な書き方に改めさせていただきました。カントールの下りについては実際に起きたことと逸話レベルのことを区別するのが難しいのですが、例えばJ.W. DaubenによるGeorg Cantor: his mathematics and philosophy of the infiniteの67ページあたりに、カントールが最初に実数の非加算性を証明した論文のタイトルが“Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”（『実代数的数全体の特徴的な性質について』）だったのはクロネッカーらが受け入れやすいようにしようとしたためだ／ではないか、という風に書いてあります。ほかにもっと直接的な言及や出典がないかもうすこし調べてみることにします。--Makotoy 2009年9月8日 (火) 12:13 (UTC)[返信]

編集ありがとうございます。編集された後の文章を読んでみて、気になった部分について、少し修正しました。

主に、段落分けの変更ですが、以下の点が内容の変更です：

「最小多項式は、～既約多項式となる。」部分で、簡単に「有理係数多項式上既約多項式である。」と簡単にしました。(コメントにありましたが、単純に書いていいと思います。)
フルビッツの定理について、少し追記。

カントールの下りについては、私の方でも、もう少し調べてみます。

それでは、失礼いたします。220.144.225.79 2009年9月10日 (木) 10:54 (UTC)[返信]

外部リンク修正

編集者の皆さんこんにちは、

「代数的数」上の3個の外部リンクを修正しました。今回の編集の確認にご協力お願いします。もし何か疑問点がある場合、もしくはリンクや記事をボットの処理対象から外す必要がある場合は、こちらのFAQをご覧ください。以下の通り編集しました。

編集の確認が終わりましたら、下記のテンプレートの指示にしたがってURLの問題を修正してください。

ありがとうございました。—InternetArchiveBot (バグを報告する) 2017年9月25日 (月) 12:34 (UTC)[返信]