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次の関数列を考える。
前提条件より数列 ∑ n = 1 ∞ M n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}} は収束し、かつMn は任意の正整数に対して非負なので、コーシーの収束判定法により,
この選ばれた Nに対して,
(この(1)の不等式は三角不等式)
よって列 Sn(x) はR または C上のコーシー列 であり、実数、複素数は完備なことから, S(x)はx依存したある数に収束する.--橋本明生浩 2024年4月2日 (火) 00:55 (UTC)