ノート:レヴィ・チヴィタ接続

レヴィ・チヴィタ接続

勉強不足なのであまり自信はないのですが、レヴィ・チヴィタ接続と呼ばれる接続は本当に存在するのですか？歴史的にはリーマン多様体の接続はレヴィ・チヴィタの平行性をエリ・カルタンが拡張してユークリッド接続と呼ばれる接続を提唱したのが「接続」概念の始まりだと認識しているのですが、それ以前にレヴィ・チヴィタが明確に接続概念を提唱していて、それがレヴィ・チヴィタ接続とよばれているのでしょうか？私も改めて文献を調べ直してみたいと思いますが、もしレヴィ・チヴィタ接続ではなくレヴィ・チヴィタの平行性かユークリッド接続の概念と勘違いしたという以外ないような状況でこの記事が作成されていたと判断せざるような根拠が発見された場合、この記事に対して削除依頼を出したいと思います。--I.hidekazu（会話） 2014年12月30日 (火) 13:58 (UTC)

微分幾何学的な立場では、Levi-Chivita connctionは、metric g に対し、

1 $\nabla g=0$ 計量に対する接続が 0 であること

2 $T=0$ torsion（捩れ）が 0 であること

この 2つを条件とします．Riemann connectionリーマン接続とも言うようです．この立場は、有名な小林-野水の教科書（今は、日本語版がでているようです）にあります．英文版wikiの記事の立場でもあります．この立場で記載しております．単に条件 1 のみを満たす接続は、metric connection 計量接続といいます。この記事は日本語版wikiにはありませんが、英語版にはあります．この 1の条件のみを満たす計量接続が、リーマン計量から平行移動性のみを考慮したアフィン接続と考えられます．本記事は、分かり易くこなれた表現をしていないことは反省点ですが、勘違いしているわけではありません．歴史的な話は詳しくありませんので、ご専門のかたにお任せいたします．削除は該当しません．--Enyokoyama（会話） 2014年12月30日 (火) 15:40 (UTC)

追伸：日本語版、英語版ともに、headlineを改善する必要があるかもしれません、誤りではないでしょうが、分かりにくい．下まで読まないとこの条件は分かりません．--Enyokoyama（会話） 2014年12月30日 (火) 15:48 (UTC)

なるほど。了解しました。根拠を示していただきありがとうございます。--I.hidekazu（会話） 2014年12月31日 (水) 14:27 (UTC)

本記事のヘッドラインをいじる前に、『リーマン幾何学の基本定理』を訳出しました．こちらのヘッドラインに明確に記載があります．ご参考です．--Enyokoyama（会話） 2015年1月2日 (金) 07:48 (UTC)

コヴァルスキーのリーマン幾何学が確かそういうやり方だったような覚えがあります。共変微分を与えてから接続の記号を明らかにするというやり方は得意ではないです。ただ、やはりレヴィ・チヴィタ接続とユークリッド接続って一緒じゃないかと思います、確信はないですが。気になる点は以下

• 「レヴィ・チヴィタ接続」という用語は（カルタン以後に）誰が言い出したのか
• 「ユークリッド接続」との違いはなにか

の二点です。歴史的にはカルタンのユークリッド接続が一般的なので、ユークリッド接続に改めるというのはあってしかるべき話だと思います。だれかわかる方おいでたら根拠とともに教えていただければありがたいです。--I.hidekazu（会話） 2015年1月3日 (土) 13:51 (UTC)

お恥ずかしい。レヴィ・チヴィタ接続はかなり一般的な用語のようですね。そういえば関沢 正躬とコヴァルスキーの本で昔勉強した時に出てきた気がします（一時整理した時に処分してしまい今持ってません）。はっきりしていませんがエリ・カルタンの対称疑似接続がリッチの補定理を満たす接続をレヴィ・チヴィタ接続としている本があったので、ユークリッド接続同様にエリ・カルタンが導入したのかもしれません。ちょっと時間あるときに調べておきます。--I.hidekazu（会話） 2015年1月6日 (火) 13:47 (UTC)