ノート:リーマン曲率テンソル

リーマン-クリストッフェルのテンソルへの改名提案について

Ricciの公式にも現れるテンソルは有名なアインシュタインの一般相対性理論の論文においてもリーマン-クリストッフェルのテンソルと呼ばれており、リーマン曲率テンソルと呼び表すより、リーマン-クリストッフェルのテンソルと呼ぶ方が一般的であるため。--I.hidekazu（会話） 2014年12月22日 (月) 14:28 (UTC)

I.hidekazuさん、一般相対論の脈絡でEinsteinがそのような使い方をしているのでしょうが、本記事の第一義的性格は、リーマン幾何学の中ですので、本件にリンクをはっている記事も、接続やリーマン幾何学が主要な記事です．もちろん、一般相対論などの物理学的記事も多数あります．しかし物理学的な記事でも、「リーマン曲率テンソル」という使い方をしているものも多いようです．改名により、記事の性格や趣旨が変更されるわけではありませんし、「リーマン曲率テンソル」という用語が誤っているわけでもありませんし、こちらはこちらで定着しています．また記事の中で、リーマン-クリストッフェルのテンソルという言い方もあるということもあるということが明記されています．従って、日本語版の記事では、「リーマン-クリストッフェルのテンソル」から本記事への転送とするほうが、自然であり、影響範囲もほぼないので、『改名』ではなく『転送』とするということでいかがでしょうか．--Enyokoyama（会話） 2014年12月22日 (月) 14:56 (UTC)

リーマン幾何学と一般相対性理論はそれなりに不可分な関係にあると思うのですが、おっしゃることもわかります。微分幾何学で有名な矢野健太郎さんの本はリーマン-クリストッフェルのテンソルかリーマン-クリストッフェルの曲率テンソルとなっているので微分幾何学としてもリーマン-クリストッフェルと冠するのは一般的ではないかなと思います。逆にリーマン-クリストッフェルのテンソルを記事名に持ってきてて、リーマン曲率テンソルとも呼ばれると明記するというのはダメですか？--I.hidekazu（会話） 2014年12月22日 (月) 16:20 (UTC)

提案

リーマン幾何とその応用で勉強をしているのですが、よくよく読むとリーマン曲率テンソルとリーマン-クリストッフェルテンソルは矢野健太郎さんによれば使い分けされています。すなわち、混合テンソルの $R_{kji}{}^{h}$ はリーマン曲率テンソル。全て共変であるテンソルの $R_{kjih}$ はリーマン-クリストッフェルテンソルと呼ぶこともあるとされていました。そこで、Enyokoyamaさんのおっしゃられるようにリダイレクトで対応したいと思います。返事がなければそのように進めたいと思います。--I.hidekazu（会話） 2014年12月24日 (水) 16:06 (UTC)

そうしていただけるとありがたいです．この記事は、英語版の"Riemann curvature tensor"という記事へ連動されています（かといって、タイトルが同一か否かは大した問題ではないと考えています）．タイトルの事情を脚注にして、説明をいれたられたらいかがでしょうか．お手数をおかけいたします．--Enyokoyama（会話） 2014年12月25日 (木) 11:10 (UTC)

了解しました。うまく事情を説明して書けるかどうかはわかりませんが、使い分けをどうすればいいかについては脚注かどこかに明記したいと思います。では改名提案を取り下げて、リダイレクトを作成したいと思います。作成するリダイレクトはリーマン-クリストッフェルのテンソルとリーマン-クリストッフェルの曲率テンソルの二つの予定です。--I.hidekazu（会話） 2014年12月25日 (木) 12:39 (UTC)

素朴に、命題が正しいかどうか疑問

本件に局所座標系を駆使した改修がなされていますが、次の命題は素朴に考えて、何か誤っているように思います．

リーマン多様体が局所的にユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが０

素朴に考えて、（正の定符号の計量が入る）微分可能多様体は、どのような多様体でも局所的にはユークリッド空間ではないかと考えるわけで、リーマン曲率テンソルやクリストッフェル記号は関係ないのではないでしょうか．たとえば、（次元の異なった例ですみませんが、）3次元空間に埋め込まれたトーラスの表面を考えると、局所的には平面、つまり（実）2次元ユークリッド空間ですが、空間としては曲がっています．どこかミスリードがあるのではないでしょうか．改修により、ベクトル場の考え方がなくなってしまっていることが気になります．--Enyokoyama（会話） 2015年1月18日 (日) 11:58 (UTC)

それは接空間がユークリッド空間だという話でしょう。多様体なんですからそらそうでしょう。この場合言っているのは紙を丸めたら曲がっているけれどもリーマン曲率テンソルは０だから、適当な座標変換（まるめているのをやめること）で平坦な空間にできるということですよ。--I.hidekazu（会話） 2015年1月18日 (日) 14:11 (UTC)

誤解があるようですので、言い回しを修正しました。--I.hidekazu（会話） 2015年1月18日 (日) 14:15 (UTC)

I.hidekazuさん．やはり、理解に苦しみます．リーマン曲率テンソルは接続の概念と密接に関連します．ベクトルバンドルといった考え方も除外されています．接ベクトルや微分形式のことも念頭にない独自の理屈のようです．個人の見解の域だと思われます．

1. 「リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが０」と命題を言い換えていただきましたが、これの出展はどこでしょうか（四角で囲まれた命題の出展はどこでしょうか）．また、意味のある命題なのでしょうか．素朴に考えて、ある開いた領域がユークリッド空間であれば、その領域以外の曲がった領域との「繋がり」は微分可能でなくなるのではないでしょうか．
2. 基本計量テンソルとありますが、通常の計量テンソルとは異なる概念でしょうか．（大きな次元のユークリッド空間にリーマン多様体を埋め込んだときに、そのユークリッド空間の計量のこと？、それともベクトルバンドルの上の計量テンソルのことでしょうか？）
3. R(u,v)wの記号、ベクトル場に関連する記法を排除した理由は何でしょうか．（記法はどうあれ、ベクトル場を排除した理由をお聞きしたい）

僭越ながら、ベクトルバンドルの底空間とベクトルバンドルの全空間とを混乱されていませんでしょうか．本記事は、微分幾何学の記事ですので、個人見解の表明は別の場所が妥当ではないかと思います．--Enyokoyama（会話） 2015年1月21日 (水) 07:24 (UTC)

１出典はリーマン幾何学入門 pp.83-85です。あと、つながりが微分不可能になる理由というのがよくわからないのですが、曲率テンソルがある領域で０だと共変微分できなくなるとかないと思いますが。

２同じでしょう。教科書によって用語が違うというだけだと思います。私の使っている教科書は参考文献に挙げている本です。Enyokoyamaさんは何を使っているのですか？

３冒頭で「リーマン幾何学における」リーマン曲率テンソルとしているので、アフィン接続か対称接続か疑似接続かわかりませんが一般の接続条件（共変微分の条件）を念頭に置く必要はないからです。あくまでリーマン多様体のレヴィ・チヴィタ接続（普通の共変微分の条件）でやるということです。ベクトル場を排除というのがよくわからないのですが、共変微分するにしてもテンソル場じゃないとできないでしょう。

最後については教科書に載ってない範囲なのでできたら説明してもらえませんか？どういう本を読めばいいかも教えてください。--I.hidekazu（会話） 2015年1月21日 (水) 16:07 (UTC)

１、リーマン幾何学入門のpp83-85を初めて手にしました．矢野先生は、全く正しいことが記載されています．まず、『$K_{\mu \nu \lambda }^{\kappa }=0$ である空間を平坦な空間と読んだ、、、』から始まり、『ユークリッド空間とは、適当な座標の変換を行えば、その基本テンソルの成分を全部定数ならしめ得るようなリーマン空間である』と下線で強調されています．つまり、リーマン空間にどのような条件をいれるとユークリッド空間となるかということを述べています．リーマン空間一般は当然にも $K_{\mu \nu \lambda }^{\kappa }=0$ ではないのではないでしょうか．その結果、命題としては、

『リーマン空間が局所的実はユークリッド空間になるための必要十分条件は $K_{\mu \nu \lambda }^{\kappa }=0$ である。』

とあります．当然の命題と思います．「リーマン多様体のある領域」とか「ある領域では」というような表現の修正を含む、このパラグラフの大幅修正を期待します．

２、「同じでしょう」という話を聞いて安心しました．

３、単に記法のことを指摘しているわけではありません．Christoffel記号を使う説明は局所座標による表示であり、局所座標に依存しない表示方法もあり、その記法をすべて駆逐する理由を知りたいのです．記法は異なりますが、矢野先生の本にも、このクリストッフェル記号を使った中にも、削除されたリッチテンソルの式などはこの記法を使って書かれています．その意味ではクリストッフェル記号で言い換えたのが、Hidekazuさんの内容説明となっているように思います．前の記事を削除して上書きする根拠はないのです．むしろ、前の記事の削除ではなく、「クリストッフェル記号を使って、書き下すと、、、」として”付記：”とするような内容ではないでしょうか．勉強すべき本の紹介ですが、接続との関係については、森北の同じシリーズで、矢野先生の『接続の幾何学』があります．記法について矢野先生は英文では複数の古い共著の書籍では局所座標に依存しない記法を使われておられます．

提案としては、元の文章に復活させてから修正を加え、I.Hidekazuさんの修正版を、『クリストッフェル記号を使って書きなおすと、、、、』という”付記：”に相当するパラグラフとして追記するという方向はどうでしょうか．--Enyokoyama（会話） 2015年1月23日 (金) 11:21 (UTC)

１、参考文献の方読んでくださって本当にありがとうございます。それは本当にうれしいです。ただし、その本の問題点を挙げますと「リーマン空間」とはなんでしょうかというところがあります。

３、局所表示である理由は、リーマン曲率テンソルの定義が局所表示によるクリストッフェル記号を用いたものであるためですし、中心的役割を果たす一般相対性理論で主に局所表示で用いられるためです。提案はいいですが、例えば共変微分で定義した場合、それからリッチテンソルはどう定義するのですか？--I.hidekazu（会話） 2015年1月23日 (金) 13:46 (UTC)