ノート:モノイド

モノイドの定義の部分で ＞モノイド は集合 S とその上の二項演算 “•” の組 (S, •) で、この二項演算が以下の二条件 となっており、演算が閉じていることを暗黙的に示しています。 一方で半群の定義では ＞半群とは集合 S と二項演算 "•" の組 (S, •) であって、二項演算 • が以下の条件 ＞演算が閉じている ＞ S の各元 a, b に対して、演算結果 a • b は再び S に属する。 となっており集合の上の演算という表現がない代わりに演算が閉じていることが明示されています。 わたしはこの不統一により混乱しました。そこで統一したいのです。 「集合の上の演算」とは「演算が閉じている」ことがWikipedia上で説明されていて適切なリンクがされればよいのですが 現状では明示するのが変更が簡単でわかりやすいと思います。 過去に「演算が閉じている」が削除されたことも踏まえてご意見を待ちます。 --Hatusenouma（会話） 2014年7月27日 (日) 00:36 (UTC)

統一をとるべきであるというのは同意ですが、記事半群から「演算が閉じている」という公理を除去する方向で修正すべきかと思います。現状の半群における記述は、「集合 S と二項演算 "•" の組 (S, •) であって、演算が閉じていないもの」というよくわからないものが存在するかのような記述で、非常に気持ち悪いです。en:monoidとen:semigroupを見てみましたが、どちらも「演算が閉じている」に当たる公理は記述されていません。その代わりといいますか、en:monoidには「If instead • is a function S × S → T a priori taking values in a larger set T, then one should first check closure, i.e., that a • b is in S for all a and b in S.」という記述があり、初学者のためにわかりやすくするならこれにあたる説明を追記するぐらいにしておいたほうがいいんじゃないかな、と思います。--60.132.39.38 2014年7月31日 (木) 14:52 (UTC)

コメント S 上の演算が「閉じない」場合，像の集合を明示しなければ定義として完結しません．ですから何の前提もなく単に「S 上の演算」という場合，像が S に属すると想定して問題は起きないと思います．敢えて演算が閉じることを明示したいのであれば，「集合 S と二項演算 (·): S × S → S」のように像の集合を記載するように編集しては如何でしょうか(二項演算，演算の項でもそうなっていますのでご確認ください)．NGiraffe（会話） 2014年7月31日 (木) 15:20 (UTC)

コメント ご意見ありがとうございます。例として自然数に対する引き算、整数に対する割り算など演算が閉じていない組み合わせが除外されるかどうかということ明示したいと思います。ご呈示いただいた２項演算の記事、英語の記事などを参考にいたします。ありがとうございました。--Hatusenouma（会話） 2014年7月31日 (木) 23:14 (UTC)