ノート:ベクトルの共変性と反変性

執筆お疲れさまです。へのいち と申します。

私は、ここで解説されている ベクトルの反変性や共変性について、数学的にはおそらく理解できていますが、この解説のような 物理学で一般的な表現方法を使った説明のしかたには慣れておらず、わかりにくいな と感じてしまいます。それで、今の説明で十分と感じる方に加えて、私と同じように感じる方にもわかりやすい解説になればうれしいと思い、関心ある方と意見交換をしたいと考えました。よろしくお願いいたします。（Wikipediaに書き込むのは久しぶりなので、数式の書き方など忘れています。以下、ご容赦を。）

私がこのような説明がわかりにくいと感じることの根底にあるのは、ベクトル空間Vとその双対ベクトル空間V*を暗黙のうちに同一視していることだろうと思っています。このような同一視がなされているということは、例えば注のところに「基底 f は実数空間 Rⁿ から V への線型な同型写像と見なすことができる。」と書かれているところなどから見てとれます。

数学的には、VとV*は共通部分を持たない別の集合で、VとV*を同一視するときにはその都度同一視のための同型写像を一つ指定します。（もちろん「自然な」同一視を考えることが多く、それが暗黙のうちになされることもよくありますが。）つまり、同一「視」というように、あくまでも別の対象であるものを同じと「見な」しているだけだということを意識します。そうすると、Vの元vをある基底f=(X1,X2,...,Xn)に関して成分表示したときの成分が、別の基底f'=(Y1,Y2,...,Yn)であらわしたときの成分にどう変化するかといえば反変的であるし、V*の元wをfの双対基底f*=(X1*,X2*,...,Xn*)に関して成分表示したときの成分が、f'の双対基底f'*=(Y1*,Y2*,...,Yn*)であらわしたときの成分にどう変化するかといえば共変的だとなるわけです。換言すれば、Vの元は反変ベクトルで、V*の元は共変ベクトルだということになります。

物理学でよくなされる説明では、VとV*を暗黙のうちに同一視していて、あるベクトルが実はVの元なのかV*の元なのかを明確にしないまま成分表示して、その成分が基底変換に対して反変的だとか共変的だとかいうようです。このあたり、上で書いた数学的な明瞭さも盛り込むことでよりわかりやすい説明になると思うのですが、あまりそのような説明に出会ったことがありません。そのように説明された文献があるとか、私の理解におかしいところがあるとか、何でもかまわないので、関心をお持ちの方のご意見をよろしくお願いいたします。--へのいち（会話） 2015年1月8日 (木) 15:03 (UTC)

上記と同じ趣旨で説明された解説文がありましたので、参考のために挙げておきます。[1]「テンソルが意味不明な物理学習者へ：共変ベクトルと反変ベクトルからテンソルまで」（vielbさん，2023年4月1日 22:25）--へのいち（会話） 2024年5月4日 (土) 05:39 (UTC)