ノート:ピタゴラス音律

==ここに書いてあるピタゴラス音階と古代ギリシャの音階の関係についての質問今朝、「ピタゴラス音階と三分損益は異なる」とコメントして、訂正をいただきました。確かに記事の内容を確認して同一だと思います。

ですが、英語版も同様なのですが、ここにあるピタゴラス音階と古代のピタゴラス音階は同じなのかという質問になります。なぜそんなことを気にするかというと、本エントリーは古代ギリシャの科学者の記事での説明からも参照されているからです。

私個人としてのそもそもの発端は、NeedhamのScience and Civilization in China, vol 4 Part I, pp.175-　に、「三分損益とピタゴラス音階は異なる」とあるのを見たことにあります。175ページに対照表がついています。Needhamのいうピタゴラス音階では、弦の長さが(1, 8/9, 64/81,3/4,2/3,16/27,128/243,1/2)となっていて、このうち3/4は三分損益では生成されないということになっています（私にもそのように見えます。）。古代ギリシャの音律の説明もいくつかあさってみているですが、Needhamの説明と今のところは整合的でした。基本的な考え方は完全四度というのが非常に基本的で、これと完全五度との合成でオクターブが出来る。完全五度はまた完全4度とtoneに分割され、あとは完全4度をどう分割するかという話のようです。考え方を含め、随分と違ったもののように思います。Greater Perfect Systemで検索すると出てくるブリタニカの記事なども参考になりました。

本記事のリンクされていた http://www.medieval.org/emfaq/harmony/pyth2.html これを見たのですが、"To derive a complete chromatic scale of the kind common on keyboards by around 1300, ..."とありますし、そもそも記事の表題からみて、中世の後期のヨーロッパの話のように見えます。

もちろん、この記事の内容は非常に優れていて価値の高いものだと思います。が、もしも中世後期以降と古代で内容が違うのならば、混乱をさけるための整理がいるのではないかと思いました。 --Gejikeiji（会話） 2022年6月24日 (金) 13:21 (UTC)Gejikeiji[返信]

Gejikeijiさんはすべてを根本から勘違いされているように思われます。念のために確認しますと 4/3×3/2=2/1 となります。--Kagefumimaru（会話） 2022年6月24日 (金) 14:36 (UTC)[返信]

私が書いたもので良ければ音律についてこちらにまとめてありますので参考にしてください https://note.com/kagefumimaru/n/n3a9e9aad1f24 --Kagefumimaru（会話） 2022年6月24日 (金) 14:41 (UTC)[返信]

リンク先拝見しました。多分、私が理解しているものと同じ内容だと思います。どの辺を誤解と思われたのかはわかりませんが、基本的には「ニーダムは三分損益とギリシャのピタゴラス音階が同じ原理とは言えないと書いている」ことは、多分誤解していないと思います。数ページに渡りその主張をして、両者の直接的な影響関係を否定する材料にしているので。

上に引用したニーダムの表は、テトラコルドが真ん中にトーンを挟んで並んでいる、中央の1オクターブの区間の話をしていると思われます。この二つのテトラコルドの各々の両端が、音楽理論家のいうunmovableな音で、弦の長さで言えば、一番低い音を基準にして各々 1、3/4、そして　2/3、1/2となりますね。古代の数理的な音律の理論では、unmovableな音は確定で、テトラコルドの中の各々残りの二つ(合計4つ)をどう配置するかがまず問題とされた、と私は理解しています。これは、上に引いたニーダムの表と整合していますし、中央のオクターブに注目するのも、プトレマイオスもそうだったかと思います。(私の理解は、基本的にはBarkerのGreek Musical Writings II のイントロ、及び同じ著者の別のものに依存していますので、それが偏っていたらアウトです。)

この理論では、オクターブの他にテトラコルド(が広がる完全4度)の区間が非常に基本的な役割を果たしていて、区間の分割が理論の中心になる(それで平均の複雑な理論も進化した)。これは三分損益とかなり違った考え方だ、とニーダムは主張しています。また、実際に3/4という弦の長さは三分損益では作られないと表で両者を比較して見せています。考え方のみならず、結果も少し違うと。

ニーダムが書いたことをとりあえず鵜呑みにします。また、この記事の冒頭に書いてある、ピタゴラス音階と三分損益は同じ原理だ、という主張も正しいとします。すると、両者の指す内容が異なってると思うしかないのではないでしょうか。

また、完全4度と完全五度の合成でオクターブ、といったところは、どちらかを逆を取ってからの合成というのを面倒なので端折ってしまいました。失礼しました。

--Gejikeiji（会話） 2022年6月24日 (金) 20:02 (UTC)[返信]

Gejikeijiさんは古代ギリシャの音階はピタゴラス音律に基づいていると勘違いされているのではありませんか？--Kagefumimaru（会話） 2022年6月25日 (土) 00:05 (UTC)[返信]

もうすこし、記事は充実する……と思うので、しばらく別のページにしておいてはいかがでしょうか？

賛成。というより独立した記事として扱われるか、あるいは少なくとも「音律」という記事に置かれるべき。記事「ピタゴラス」の中で簡単に触れられて終わるような、単なる歴史上・過去の遺物ではない。--Enharmonion 18:50 2004年3月16日 (UTC)

そうですよね。記事をどういう配分で書くか？　という問題はあると思いますが、音律は音楽の基礎といえる。……デスよね。Nashii

最新版への加筆で、周波数の比率を１２乗すると、ほぼ１オクターブ上の音になる。
という点が消えてしまったのですが、これは、１：２、つまりオクターブ変化でも成立するわけです。……よね？
この辺に、音楽の理論のキモがあるような……対数logは人間には理解しにくいわけです。
２進数なんて読めませんよね。……そこで、１０進数にして読みやすくする。
音楽の場合はなぜ、１０進数にならなかったか？　表記は理解しにくいが、実際の変化は感じ取れる。……からではないでしょうか？
これは、なぜ時計が１２目盛りなのか？　と同じ理由だと思います。つまり、回帰する変化は円グラフにするのが便利で、円は比率を表示するのがみやすい。つまり、半分に分けるのがみやすい。
　つまり、２進数にするのがみやすい、理解しやすい。ではないでしょうか？　Nashii

周波数比をそのまま12乗しても1オクターブ上の音にはならないと思うんですが。7オクターブ位上の音になりませんかね。Gの次のDからはオクターブ下げて五度上を求めてその音をオクターブ下げてまた五度上の音を求めて…の繰り返しで12の音を探すんじゃなかったですっけ？詳しくないから違ってるかもしれませんが。Setomanko

ちょっとややこしいんですよね。半音はルート１２（１２乗するとその数になる数字）とある音の「比率」で定義されているようです。

五度の比の値、1,5= 3/2　を１２乗して、１２で割るとほとんど２に近い。ので、オクターブ上になる。のだと思います。……しかし、現実には直線と三角形を使って、フレット位置を決めている。……らしいです。

２進数や、円の分割……などは、対数（倍倍に増えていく）変化（関数）の性質と、それを２倍３倍と表現したほうが理解しやすい。……というか、対数目盛りは理解できない、……しかし、対数変化の性質を利用するのが音雅楽の音程のコントロールではないか？　……と考えたのですが……？？　Nashii

1.5¹²/12=10.812… になると思うんですが（つまり2に近くない）。最後のHisが最初のCに対して約2（ほぼ1オクターブ上のC）になるような12音の列を得るには、D,E,Fis,Cis,Es,B,F のところでオクターブ下げておく必要がないですか？こうやって↓
　C*1.5=G, G*1.5/2=D, D*1.5=A, A*1.5/2=E, E*1.5=H, H*1.5/2=Fis, Fis*1.5/2=Cis, Cis*1.5=Gis, Gis*1.5/2=Es, Es*1.5=B, B*1.5/2=F, F*1.5=His（≒C）
これでひとまずC,Cis,D,Es,E…,Hisが並びますよね。んで最後のHisが最初のCに対して約2.027倍（(3/2)¹²*(1/2)⁶倍）になるのでオクターブが広くなっちゃまずいからどっかで辻褄あわせる必要がある。それでGisとEsの5度を狭くするんだと思ってました（違ってたら指摘してください）。あと、Nashiiさんの半音の定義は十二平均律のものですよね。ピタゴラス音階では例えばCisはCに対して2187/2048倍（(3/2)⁷*(1/2)⁴倍）の周波数の音と説明されるはずでこれはNashiiさんの定義にはそぐわない、のではないでしょうか？Setomanko

　えーと、音楽と数学の関係はちょっと、議論しにくいと思います。
比率と、比の値（分数）、実際の周波数（４４０＝Ａ）など、入り乱れて説明されています。 ……ので、ちょっとわからないのです。ごめんなさい。
　興味み深い方向は、つじつまが合わないのをどのように、理解しやすく説明しているか？
……といった方向にいろいろ調べていきたい……のですが。

＞　1.5¹²/12=10.812… になると思うんですが（つまり2に近くない）。
　この１行だけについていうと、ウエッブで過去の記憶を確かめる意味で検索したら、
１、０８……という数字がでていて、これは、オクターブの元に戻る……という意味で、
使われていて、電卓手元になかったので、そのまま誤解していました。
１２０で割らないと１、０８……には成らないのですね。話としては、周波数１０倍なら、
１０オクターブ上の同じ音……という意味だったようです。（この理解でいい？？）

　平均律の定義は、その通りです。平均律の話から半音定義を言ったのです。
　ところで、ピタゴラス音階と平均律の半音と（音の幅が）合致する半音はないのでしょうか？
　五度、４度間の半音は、平均律の半音と合致するのでしょうか？

　どこかでつじつまを合わせる。のは、ピタゴラス音律の場合、オクターブが合わない。
　しかし、絶対的な音程がない時代のことですから、（管楽器も２管を共鳴させていた）演奏を始めれば、
　　　オクターブは自然に合ってしまう……のではないでしょうか？　ということを強調したいのですが……
　　　Nashii

某氏の発言

＞　1.5¹²/12=10.812… になると思うんですが（つまり2に近くない）。

は、Nashiiさんの考え

＞五度の比の値、1,5= 3/2　を１２乗して、１２で割るとほとんど２に近い。

のうち12で割るという部分が誤りだと指摘してるんですよ。2で割るということは、1オクターブ下げることに相当します。12で割ることが何を意味するか説明できますか？　できないはずです。

もしどこかのサイトに書いてあったのなら、そのサイトは信じない方がいいですよ。とくに音楽理論関係に関しては、ネット上の情報のかなりの部分が思い込みによるものです。まあWikiのスタブ程度だと、眉にツバして読んだ方が無難です。Enharmonion 16:48 2004年3月21日 (UTC)

Enharmonionさん注釈ありがとうございます。私の思い違いにもビシバシ指摘してください。
Nashiiさんへ「周波数１０倍なら、１０オクターブ上の同じ音」とおっしゃってますが、私は「周波数2¹⁰倍なら10オクターブ上の同じ音」と理解しています。倍音の項目に「第10倍音は3オクターブと長3度上の音」とあり、Cが基準なら3オクターブ上のEになると説明してありますよ。ていうか、「五度の比の値、1,5= 3/2　を１２乗」して得られる音は7オクターブ上のC近辺の音ではないか、と一度書き込んだのですが、この点はご同意いただけないということでしょうか。私は、1.5の12乗(=129.746)は2の7乗(=128)すなわち7オクターブ上の音に近い、と考えています。

あと、「ピタゴラス音階と平均律の半音と（音の幅が）合致する半音」はないと思います（計算したわけではないのですが）。気になるならご自分で計算なさってはいかがですか？重要な論点だと思われるのなら記事のネタにもなりましょう。Setomanko

Enharmonionさんのご意見、質問、考えてみました。
１２で割ると考えたのは、五度を１２回積み重ねたから、……です。

＞「7オクターブ上のC近辺の音」　　　というのはそのとおりだとおもいます。

半音についてですが、私は「五度、４度」の間の半音のことを考えていたんですが、……
その前に、なぜ、上行五度はソですが、１、５倍　が、オクターブの真中にならないのでしょうか？　数字の上では、１、５は　２と１の　真中、中間転です……　のに……　Nashii

「5度を12回積み重ねる」に対応するのが「1.5の12乗」で、このとき「7オクターブ上のC近辺の音＝His（B#）」が出るんでしょ？　「それを12で割る」のは何のためですか？　なおCから完全5度を2回積み重ねたら1.5の2乗のD'（C-G-D'）で、これを2で割れば確かに(偶然）Dです。しかし同様に3回積み重ねたら1.5の3乗のA'（C-G-D'-A'）ですが、これを3で割る意味がありますか？　Aを得るには2で割れば十分です。ただし「'」は1オクターブ上を表してます。

半音は音程を表す用語であって、音を表すのではありませんよ。半音＝短2度音程、全音＝長2度音程。Nashiiさんは黒鍵を指して半音と言ってるようですから、気をつけてください。Enharmonion 17:29 2004年3月22日 (UTC)

横槍失礼します。記事の方で「純正五度（G）は3/2倍の周波数になる。」というには「約3/2倍」にしたほうがいいんではないでしょうか？

2^(7/12)＝1.4983・・・なので。

それともピタゴラス音律では3/2倍の周波数の音を「純正五度」と定義しているんでしょうか。

でもその場合、「五」と言う数字がどこからでてくるのか不明ですが。

＞Nashiiさん

＞「数字の上では、１、５は　２と１の　真中、中間転です」

それは等差数列での真中です。音程に関しては等比数列で考えなければいけません。その場合の真中はルート2です。キーがCのとき、F#の音がそれにあたりますね。

ルート2＝2^(1/2)＝2^(6/12)・・・十二平均律でのCから（Cを含まず）6番目の音・・・F#

追記

音程が等比数列的であることはNashiiさん自身も触れておられますが、ギターのフレット位置（ネックよりになるほど間隔が大きくなる）をみれば一目瞭然です。

記事が正しいです。まず（完全）5度は音階という枠の中での用語で、純正5度は音律論における用語です。音階論は音程の周波数や周波数比に言及しません。ピタゴラス音律や純正律では周波数比3/2として完全5度を再定義し、これを純正5度と呼ぶのです。

署名してくれないと話がしにくいです。ふたり若しくはひとりの某氏へ。（二人めの某氏へ。見にくいので、インデントしました）Enharmonion 09:04 2004年3月23日 (UTC)

あ、某氏は二人です。私は一人目です。音律については全く素人（というか音楽についてもほとんど素人）なので最初に書いたときは書き逃げするつもりだったから署名しなかったのでした（履歴見れば誰だか分かるんですけどね…）。んで記事を読んで考えたり計算したりしながら書き込んでいるうちに署名無しのままズルズルと…ｽｲﾏｾﾝ（改めて署名しました）Setomanko 12:55 2004年3月23日 (UTC)

ついでに、Nashiiさんの一連の話題とは別に二つ素人くさい疑問を…。

記事の「厳密には音律の基本のオクターブを否定している音律」とは、5度の繰返しで得た音を何の手を加えずにそのまま（広いオクターブのままで）使うことがある、ということを意味しているのですか？それとも業界ではこの音律についてよくそういう風な言い方をするってだけですか？
元の C から下の方にも5度を重ねていくこともできますよね（実際に使うかどうかは別として論理的には）。こうやって音を求めていくのはピタゴラス音律とは言わないのですか？（Setomanko 13:16 2004年3月23日 (UTC)）

お答えします。

その記述の妥当性については疑問がありますので、Setomankoさんの疑問は骨折り損と言うことになるでしょう。
言いますよ。そもそも「実際に使うかどうか」も何も、「論理的には」同じ音列が得られるんですよ。記事には「純正五度よりも狭い五度を Gis と Es の間に置いて辻褄を合わせる」とありますが、これは

上方へ8音（C - G - D - A - E - H - Fis - Cis - Gis）

下方へ3音（C - F - B -Es）

という風に音をとるのと同値ですから。Enharmonion 14:18 2004年3月23日 (UTC)

2.の方、やっと分かりました。お答えを読んでからだいぶ時間が経ってしまった。1.の方は「厳密には音律の基本のオクターブを否定している音律」を書き込んだ方がお答えしてくれるのを待つしかなさそうですね。(Setomanko 22:18 2004年3月24日 (UTC))

大変勉強になります。とくに等比数列の中間てんは、ルート２というのは、……そうなんですか。
　つまり、オクターブの中間は無理数なんですね。
ギターのフレット幅を決定するのに、ネック横に３角形を書いてフレット幅を決めると聞いたのですが具体的にはどうやるんでしょうか。
ネックから３０度広がっていく伏線を書くと、1、2、ルート３の関係がえられますが……

Nashiiさん。記事に無関係な話題は控えるべきですよ。フレット幅の決定に興味があったら、スタブ記事を作ることから始めてください。それより最初の話題は流れてしまったんですか？　いまだにピタゴラス音律と繋がらないようですが。Enharmonion 12:02 2004年3月25日 (UTC)

すいません。……１２乗するのと、１２で割るのとの関係は、無いということ、わかりました。三回目の五度（D'-A'）はオクターブ上にならない……ので、２で割る。のも了解。

……その先になにか、倍数とオクターブの比例分配に、規則性がありますか？　方向など……

提案してください。……なんか、可能性を感じるんですが、……。　Nashii

倍数とオクターブの比例分配に方向などの規則性があるという読みに、どのような可能性を感じていらっしゃるのでしょう？実際に重要なのだということが後から分かるかもしれないにしても、いまピタゴラス音律の記事が発展するような可能性を示されなくてはどんな提案もできないと思うのですが…。記事に寄与するかどうかも（可能性程度にしか）わからないような新しい話題を導入することよりも、現にある記事を書き直していく方がよいとおもいます。今の記事には怪しい所もあるみたいですし。（Setomanko 01:43 2004年3月26日 (UTC)）

短く、あやしいトコ指摘して～　Nashii

「厳密には音律の基本のオクターブを否定している音律」（ちょっと上の方のやりとり参照）。ただし上記にあるように私には妥当性の判断はできません。Setomanko

いくつかの場合わけが必要です。
１、音律の仕組みではオクターブがずれている。……のでオクターブを否定してる。２、演奏するとき、女声男声がオクターブずれて演奏するとは考えにくい。……のでオクターブあり。３、弦楽器など調弦するとき、具体的にはピアノだとおもうのですが、ピタゴラス音階でも、オクターブは合致させると。……ピアノ調律師の方のサイトで読んだ。
　音律の仕組みでは、オクターブを否定してるのは確かだとおもいます。
Nashii

私には「基本のオクターブ」とか「オクターブを否定」とか「厳密には」という表現がいちいち気になるわけですが、それらの意味を可能な限り想像した上で、疑問があると言ったのです。私は相変わらず妥当性に疑問をもってますが、緊急に編集したいと思う記事ではありません。だから私はいま編集しないし、Nashiiさんは記述を支持するから編集しない。それで良いではないですか。別に議論の必要はありません。妥当性に疑問と言ったのは私ですから、行きがかり上、発言しました。Enharmonion 16:22 2004年3月27日 (UTC)

いまさらながら記事の履歴を確認したんですが、Nashiiさんが「厳密には音律の基本のオクターブを否定している音律」を書いたご本人なんでしょうか。それならば上の私の書き込みはトンチンカンなものでした。Enharmonion 15:03 2004年4月1日 (UTC)

そうです。ただ、記憶で受け売りで書いたのですが、オクターブが一致しない音律だと言うことはなにかで読んで知っていました。Nashii

それは失礼しました。お詫びを兼ねて、この件について私の考えを述べます。

最近の書き込み「１、音律の仕組みではオクターブがずれている。……のでオクターブを否定してる。」から想像すると、Nashiiさんは「純正5度を12回積み重ねて達したHis（B#）がCと一致しない」ことを「オクターブを否定している」と表現していると思われます。そうであるならば「オクターブを否定している」という表現が不適切です。なお「基本のオクターブ」とか「厳密には」という部分が重要ではないと仮定して、無視しました。Enharmonion 06:38 2004年4月2日 (UTC)

受け売り以上の記事にしたいと、……思いまして。どんな書き方が良いでしょうか……？

それと、西洋音楽の記事についてあちらのノートで少し議論しませんか？　Nashii

「純正5度を12回積み重ねて達したHis（B#）がCと一致しない」と書けばよいし、この記述がすでにある場合には何も書かなければよいのですよ。全面的に書き直しましたから、ご意見ご批判などどうぞ。私の編集は大胆すぎるとの見方もあるでしょうが、細部の問題点を一挙に解決するものだと弁解させてください。たとえば「ピタゴラス音律」と「ピタゴラス音階」とをうまく整合させている点などを評価して頂きたい。Enharmonion 18:23 2004年4月2日 (UTC)

いいです！　すっきりしたし「また積み重ねを途中で止め、」……のあたりなどピタゴラス音階の構造的な理解に役立つ、……ユーモアも感じます。　Nashii

　記事を読みなおしていて、冒頭の（オクターブ）「7個ぶんの積み重ね」（と僅差である。）と言うのは、間違いではないでしょうか？
　Ｃ音を基準に五度を１２回積み重ねたそれぞれの音を、オクターブの範囲に下げて並べる。
　その、１２番目の音はほぼ、最初のＣ音のオクターブ上のＣ’音に近い。
　……ではないですか？　Nashii

よく分からないので、どういう風に間違っているのか仰ってください。Nashiiさんの言明「Ｃ音を基準に五度を１２回積み重ねたそれぞれの音を、オクターブの範囲に下げて並べる。その、１２番目の音はほぼ、最初のＣ音のオクターブ上のＣ’音に近い。」に間違いはありませんが、もとの記述と置き換える意義が不明です。Enharmonion 12:41 2004年4月15日 (UTC)

「オクターブを７個重ねる」と言う表記です。
　　オクターブ１：２を、積み重ねる、　のはおかしいでしょう？　Nashii

私はおかしいと感じていないのだから、「おかしくないですか？」「おかしいでしょ？」だけではなくて、どういう風におかしいかとか、こういう理由でおかしいと感じるとか書いてくれないと先に進まないんですよ。

「7個」ではなく「7回」にすべきと言ってるのですか？

「音程を積み重ねる」ことはできないと考えてるのですか、それとも「（音程を）積み重ねる」という表現（表記ではないですよ）がおかしいという指摘ですか？

純正5度は積み重ねられるが、オクターブは積み重ねられないと考えているとか？　Enharmonion 15:33 2004年4月15日 (UTC)

オクターブを積み重ねる必要はない、と思うのです。オクターブ上げてもとのオクターブに戻して考えるのは変です。……とおもうのですが。Nashii

このノートが見難くなるといけないので、利用者‐会話:Enharmonionへ来てください。

　　以下　　Enharmonion さんのノートより転載

ピタゴラス音律について

　記事を読みなおしていて、冒頭の（オクターブ）「7個ぶんの積み重ね」（と僅差である。）と言うのは、間違いではないでしょうか？
　Ｃ音を基準に五度を１２回積み重ねたそれぞれの音を、オクターブの範囲に下げて並べる。
　その、１２番目の音はほぼ、最初のＣ音のオクターブ上のＣ’音に近い。
　……ではないですか？　Nashii

よく分からないので、どういう風に間違っているのか仰ってください。Nashiiさんの言明「Ｃ音を基準に五度を１２回積み重ねたそれぞれの音を、オクターブの範囲に下げて並べる。その、１２番目の音はほぼ、最初のＣ音のオクターブ上のＣ’音に近い。」に間違いはありませんが、もとの記述と置き換える意義が不明です。Enharmonion 12:41 2004年4月15日 (UTC)

「オクターブを７個重ねる」と言う表記です。
　　オクターブ１：２を、積み重ねる、　のはおかしいでしょう？　Nashii

私はおかしいと感じていないのだから、「おかしくないですか？」「おかしいでしょ？」だけではなくて、どういう風におかしいかとか、こういう理由でおかしいと感じるとか書いてくれないと先に進まないんですよ。

「7個」ではなく「7回」にすべきと言ってるのですか？

「音程を積み重ねる」ことはできないと考えてるのですか、それとも「（音程を）積み重ねる」という表現（表記ではないですよ）がおかしいという指摘ですか？

純正5度は積み重ねられるが、オクターブは積み重ねられないと考えているとか？　Enharmonion 15:33 2004年4月15日 (UTC)

オクターブを積み重ねる必要はない、と思うのです。オクターブ上げてもとのオクターブに戻して考えるのは変です。……とおもうのですが。Nashii

オクターブ上げてもとのオクターブに戻して考えるのは変（Nashii）

私の記述のどこから「オクターブ上げてもとのオクターブに戻」すと読み取れますか？

「オクターブ（周波数比1:2）7個ぶんの積み重ねと僅差である。」

もしこの記述を、７オクターブ上の音と五度１２回積み重ねた音を比較してる。

と言う意味に読むとしたら、現実的ではないと思います。

７オクターブ上の音は現実にキンキンした音で比較できないと思うのです。

したがって、元のオクターブに戻して（聞いて）判断する。と読みました。

(実際始めに読んだときはよく考えなかったので気づかなかった……のですが)Nashii

「オクターブ（周波数比1:2）7個ぶんの積み重ねと僅差である。」は、紛れもなく「７オクターブ上の音と五度１２回積み重ねた音を比較」することに依ります。ところでコンサート・グランド・ピアノ（普通のピアノ）は7オクターブ以上ありますから、これは現実的です。しかし、たとえ非現実的であったとしても、私の記述に問題はありません。なぜなら記事は数字を計算する過程について述べたもので、実際に音を鳴らす必要がないからです。

理論的に音を鳴らす必要がないことはわかります。

しかし、ピタゴラス音階の本質は倍々で上がっていく周波数のイメージをオクターブの範囲に「引き下げる。」という部分だと思います。

……ので、計算過程で高い音で比較するのはおんりつの仕組みとして不適当だと思います。Nashii

「実際に音を鳴らして比較するのは困難だから、オクターブ上げてもとのオクターブに戻して考えるのは変」という主張は撤回するんですね？　ならばこの項目は終わりと宣言してください。その上で、「周波数を引き下げることが本質だから、計算過程で高い音で比較するのは不適当」という話題に移りましょう。ちなみに「オクターブ上げてもとのオクターブに戻して考えるのは変」という表現を「計算過程で高い音で比較するのは不適当」と言い換えたと理解してます。

実際の困難は問題です。しかし、理論の話に絞るために横において置きましょう。Nashii

ちょっと待ってください。私は、ピアノの話で実際に音を鳴らして比較するできることを述べて、「実際に音を鳴らして比較するのは困難」という部分が誤りであることを示したんですよ。ですから「実際に音を鳴らして比較するのは困難だから、オクターブ上げてもとのオクターブに戻して考えるのは変」という主張は意味をなさないと言ったんです。「実際の困難」などありませんから、「横においておく」も何もないでしょう？　Enharmonion 18:33 2004年4月16日 (UTC)

ピタゴラス音階の本質は倍々で上がっていく周波数のイメージをオクターブの範囲に「引き下げる。」という部分だ（Nashii）

私はそうは思いませんので、それが本質であるという根拠を書いてください。私は「純正5度を積み重ねること」が本質であると思いまして、記事の記述が成立していると考えます。定義にこの文言を含めることで、ピタゴラス音律を規定できていることが証左です。一方、仮にNashiiさんのいうことが本質で、「純正5度を積み重ねること」は本質でないとすると、まず定義が不可能になると思います。そもそも「本質」という語を使っていることがケアレスミスに過ぎない気もしますが。

５度の音を積み重ねるのは、「ピタゴラスの音律」の本質であると思います。

オクターブ上の音を下げて音階を作るのは「音律」の本質だと思います。Nashii

ならば「『ピタゴラス音律の』本質は」などと書くべきではないと苦言を呈しておきます。さて「本質」という語を使い続けるからには、ケアレスミスではないということですね。「本質」とは何をおいても、もっとも重要な事柄ですから、この点を忘れないでくださいEnharmonion 18:33 2004年4月16日 (UTC)

この議論も終わりです

上に2点回答しましたが、Nashiiさんの決定的な発言によってこの議論も終わりになりました。あなたは最初「オクターブ上げてもとのオクターブに戻して考えるのは変です」と議論を投げかけ、たったいま「オクターブ上の音を下げて音階を作るのは「音律」の本質だと思います」と言ってます。これは矛盾どころではないですよ。私がしてもいないことを変だと指摘し、一方で変だと指摘したことを本質だと主張している。ここで二重におかしなことを言ってます。あなたはご自分が何を主張してるのか分かってないようですね。私の指摘に対して弁解するか、あるいは記事への疑問の表明を撤回するか、いずれにしても明確にお願いします。Enharmonion 18:33 2004年4月16日 (UTC)

議論が終わりとは思えません。

１、オクターブ上げてまた下げるのは変です。

基本の音をオクターブ上げて、元のオクターブの範囲に下げるのはおかしい。と言う意味です。

五度の音を（理論として）何回か積み上げ、基本の音のオクターブの範囲に下げて、音律を得るのは、音律の本質的、理解につながると思います。

Nashii 14:38 2004年4月17日 (UTC)

だからですね。「基本の音をオクターブ上げて、元のオクターブの範囲に下げる」などと、私はどこにも書いていないんですよ。

オクターブを７回というのは、上げるという意味に読めるのでは？

五度を積み重ねて、得られた音は、音律としては、元のオクターブに下げるわけですから、

基本の音をオクターブ以上に上げる意味はないわけでしょう？　Nashii

たとえばC1を7オクターブ上げてC8とした後、C8をC1に戻すような操作をすると私が書いているのですか？

そうです。そういったイメージに読めるわけです。

ですから、基本の位置オクターブはそのままにして、

五度を積み上げて作った音のだけ、元の、基本のオクターブ範囲にまで下げて、音律にとする。

……と書いたほうがいいと思います。したがって、３度下からのオクターブによる説明も、

基本となる音が、Ｃなら、ＣからＣ’までのオクターブで説明するのが良いと思います。

それで、「また積み重ねを途中で止め、」という表現ともマッチすると思います。Nashii

記事音律を編集しましたので、参考にしてください。

すっきり、まとまっていると思います。敬服しました。……かんがえてみると、

私のなかの疑問はどうして、こういう音律のかたちに到達したか？　といったような興味でスNashii

音律と音階との区別ができてますか？　音律にとって1オクターブに納めるか否かは、音階ほど重要なことではないのですよ。ピタゴラス音律によるピアノ調律について実際の作業手順を想像して考えてください。
それでも私の記述が理解できないのなら、音律について書かれた本を一冊でも読み通すことから始めてください。もちろん私の記述が絶対に正しいとは限りませんが、あなたは自分が思い違いをしている可能性を低く見積もりすぎてませんか？
ここで勉強するのではなくて、ここでは勉強した成果を披露してください。この議論の合間に記事音律を編集し、その結果を見せたのは、音律とは何であるかについて、あなたが何を知っており、何を知らないかを確認して欲しかったからです。ご自分の知識・理解に自信をもっているのならサッさと編集してご覧なさい。正しければ支持を得るだろうし、間違っていれば再編集されるだけのことです。ただし説明を求められたら、それに応じられるだけの知識と文章力が、応じられなければ引き下がる潔さが必要ですよ。
説教ばかりでご免なさい。同じ説教が私に向けられる可能性もあるわけですが、正直な気持ちです。Enharmonion 19:02 2004年4月17日 (UTC)

Nashiiさんへ。返答がなければ、近日中にこの部分を白紙化します。対話の過程を晒しておきたいなら、ノート:ピタゴラス音律へコピーしてください。Enharmonion 15:47 2004年4月20日 (UTC)

なんと答えていいのか考えておりました。

お話の趣旨は異論があるなら書き換えて見なさい……といわれている。思ったので……。

追加質問なのですが、「Cを出発点として下方に3音を、上方に8音を積み重ねる」という部分の

基準のＣより下の音を含めた音列を使ったのはなにか意図するところがあったのでしょうか？

「基準の音を７オクターブ上げる。」という記述はやはり、不要で消したほうがいいと思います。

ピタゴラス音律とピアノによって一般的になった平均律のあいだには２４００年の時間差があるわけで、音律のはなしと、ピタゴラス音律のあいだには相当な段差があるように思います。

わからない事ばかりですが、「音組織」「ピッチクラス」などのリンクが空っぽなので、これから充実したらもっとわかるようになるのでしょうか？

異論があるなら書き換える。これはWikiでは推奨されているようですよ。私は自分の理解と記述に自身があるから、大胆な書き換えをしました。Nashiiさんもどうぞ。

意図するところがあるに決まってます。あなたは以前に音律の本質について云々しましたが、ウルフをどこに設定するかが一部の音律にとって本質的な要素です。ウルフの何たるかを知らなければ、音律の記事は書けませんよ。

実際の演奏と、ピタゴラス音律の仕組みは……少し違うのではないでしょうか？

その曲の調で演奏する限り、ウルフはかえって自然に聞こえると思います。

とくに歌物の２度マイナーは、刺激的でいい感じです。転調したときに問題になるのは当然ですが。

実際のセッションで純正調を使うと単音でものすごく説得力を持ちます。

また、ヤマハの場合は純正調マイナーのポジションもあってこれは、コードで押さえる伴奏にむいている調律のようです。……しかし、マイナーが別にある理由は葉っきり理解できていないのですが……。Nashii

ですから、どうぞ書き換えてください。このページは近日中に白紙化します。対話の過程を晒しておきたいなら、ノート:ピタゴラス音律へコピーしてください。

了解です。

ちょっと考えて、「基本の音をオクターブ上げる」ような記述のない文章を考えて見ます。Nashii

（話題 2）

話題になるかどうかわかりませんが、表の記述で例としてDから、というのが気になります。 D線の倍音とCの倍音は異なるからです。Cの五倍音はミになりますが、Dの五倍音はF#で長３度？　ここで？は５倍できれいな和音になるかという事ですが、２，４，８、16など２の累乗倍はすべて同じ音になりますから、新しい音はすべて２を除く数の積か素数倍になります。 Cの周波数を272にするとこれに倍率をかけて２の適当な累乗で割って1と2の間に来るようにして並べると Cx9/8=レ、Cx10/8、＝ミ、でこの方法で倍音（周波数の倍数）を適当な２の累乗で割るときれいな等差数列が出来ます。 9/8、10/8、11/8、12/8,13/8,14/8、15/8、16/8オクターブ。ここでソは12/8で間違いなく、ミは10/8で間違いないのですが、その間のファがこの方法だと11/8（１１倍音から）になるのですが、これが表の表では違いますよね。これが、Dから始めたためなのか分からないのですが。ちなみに、C＝272にすると、周波数は34間隔で　ド272、レ306、ミ340、ファ374、ソ408、ラ442、シ（低）476　シ（高い）510　C2　544、D2　612　E2　680　でオクターブ上がるごとに周波数間隔が２倍になります。これが純正ではないかと思うのですが。。

基音を変えるとずれてしまうので、基音は大事だと思います。

申し訳ありません、私には説明がよく理解できません。念の為申し上げますと、この記事はピタゴラス音律を扱っており、平均律や（狭義の）純正律を扱っているものではありませんが、その点はご理解いただけているでしょうか。--Kagefumimaru（会話） 2014年6月18日 (水) 09:48 (UTC)[返信]

何度か読み直した結果「その間のファがこの方法だと11/8（１１倍音から）になるのですが」の箇所の「ファ」がF#を指し、これはCを基準とした倍音列の第11倍音である、という意味ではないかと推測しました。すなわちピタゴラス音律は倍音列に則っていないという指摘でしたら、それは当然です。ピタゴラス音律は倍音列に則った音律ではありません。もし別の内容を指摘されている場合は、説明を加えていただけますか--Kagefumimaru（会話） 2014年6月18日 (水) 10:10 (UTC)[返信]

すみませんでした。　純正律のところで勉強させていただきました。下にとる2/3を入れると完全４度の4/3がでてくる。これを入れて純正律になるのですね。私は多分それで正解だと思います。上の私の書いたファはファ＃、ラはラｂ、シ（低）はBb　で、おそらく、倍音からはラもファも出てこないのだと思います。　周波数比が一定になって長二度を決めてDの５度上でAが出てくる。　書かれているピタゴラス音律も純正律も弦の長さからみて実際によく一致しているように思います。ただ、実際の演奏ではそれぞれの音律に固定して演奏しているのではなく、旋律によって選択して演奏しているのだと思います。　いろいろ意見はあるようですが、私はこの説明ですっきりしたように思います。

「下にとる2/3を入れると完全４度の4/3がでてくる。これを入れて純正律になるのですね。」違います。本記事をよくお読みください。またノートページ編集の際には末尾に時刻印付き署名をお願いします。加えてウィキペディアご利用の前にWikipedia:ウィキペディアへようこそを一読されることをおすすめします。--Kagefumimaru（会話） 2014年6月18日 (水) 22:33 (UTC)[返信]

周波数の公式

A4=432Hzのとき、すべての楽器をピタゴラス音律統一で調律した場合の、C3から完全五度を $n$ 回分移動させた周波数は以下のようになります。 $f_{n}=432\left({\dfrac {3}{2}}\right)^{n-3}{\text{ Hz}}$ pythagorean standard pitch a432（会話） 2018年1月13日 (土) 16:36 (UTC)[返信]

そのことに何の意味があるのでしょうか。他のノートページでも指摘されていますが、あなたの数学関連の項目における編集はことごとく独自研究な上に記述を冗長にするものでしかありません。まずは「Wikipedia:ウィキペディアは何ではないか」をお読み下さい。--Kagefumimaru（会話） 2018年1月14日 (日) 02:59 (UTC)[返信]