ノート:ヒルベルトの第3問題

デーンの証明と元の問題との関係

原文では、記事で概要が述べられているデーンの主張「D:同体積の正四面体と立方体は分割合同ではない」と、ヒルベルトの第3問題そのものの否定（本来はこちらに関する記事であるはず）「H:底面積と高さが等しいが分割合同でない四面体の組が存在する」の関係が "Dehn's invariant can be used to yield a negative answer also to this stronger question(=ヒルベルトの第3問題)." としか書かれていないので、一応、「本来の問題」の節で「D⇒H」であることを明記しました。--Zar2100（会話） 2019年7月1日 (月) 03:58 (UTC)[返信]

その意気やよし! と言いたいところですが、これではまったくダメです。「D⇒H」であることの証明にも説明にもなってません。なぜ「底面積と高さの等しい二つの四面体 T1,T2 は常に分割合同だと仮定すれば、任意の四面体は底面が同一で高さが 1/3 の三角柱と分割合同に」なるのでしょうか。意味不明です。デーンの論証とのつながりもまったくわかりません。

たしかに英語版のページには詳しいことは書いてないですが、関連項目の方にヒントがあります。それでもわからなければ、こちらのレジュメにはほぼずばり正解が書かれています。--Loasa（会話） 2019年7月4日 (木) 14:28 (UTC)[返信]

(1)「『底面積と高さの等しい二つの四面体 T1,T2 は常に分割合同だと仮定すれば、任意の四面体は底面が同一で高さが 1/3 の三角柱と分割合同に』なる」について：

任意の四面体A-BCDに対して、三角形BCDを底面として高さが1/3の直角柱をBCD-B'C'D'、線分ABの三等分点をM,N(AM=MN=NB)とすると、

「四面体D-AMCと四面体D-MNCと四面体D-NBC」

「四面体N-BCDと四面体B'-BCD」

「四面体B'BCDと四面体B'C'CDと四面体B'C'D'D」

の各組はいずれも底面積と高さが等しいため分割合同で、よってこれら6個の四面体は全て分割合同です。最初の3個を組み合わせると四面体A-BCD、最後の3個を組み合わせると直角柱BCD-B'C'D'になるため、四面体A-BCDと直角柱BCD-B'C'D'は分割合同です。

(2)レジュメについて：

ご提示ありがとうございました。ここでは、「ヒルの四面体が同体積の立方体と分割合同である」ことが示されているので、「正四面体は同体積の立方体と分割合同でない」ことと考えあわせれば、

主張「体積の等しい2個の四面体は常に分割合同である」

は反証されます。しかし、

主張「底面積と高さの等しい2個の四面体は常に分割合同である」

は、このレジュメの記載だけからは反証されないように思います。--Zar2100（会話） 2019年7月4日 (木) 22:30 (UTC)[返信]

しばらく考えて、利用者:Loasaさまが『ほぼずばり正解』とおっしゃった真意に気付けたように思いますので追記いたします。『正解』とはつまりこういうことでしょうか。

(1)底面積1/2, 高さ1となるようなヒルの四面体 P は立方体と分割合同である。

(2)一方、1頂点に長さ1の3辺が互いに直交して集まる四面体 P' は立方体と合同分割でない。なぜなら、この立体4個と正四面体1個から1辺1の立方体1個が組み立てられるので、このデーン不変量D(P')はテンソルの等式 4*D(P')+[非0]=0 を満たすことより、 D(P')は非0だから（本文と同じ理屈で立方体とは分割合同にはなり得ない）。

(1)(2)より底面積と高さが等しく分割合同でない2個の四面体が構成できた。--Zar2100（会話） 2019年7月5日 (金) 11:57 (UTC)[返信]

私（利用者:Zar2100）が何にこだわっているのか分かりづらいかもしれませんので言葉を足します。冗漫さを許してください。

後の数学への影響という観点からは、ヒルベルトが何を問うたかという細かな部分よりも、その解決の中で多面体に特有の不変量が見出されたことのほうがずっと重要でしょうから、後者に記述の大部分が割かれるのはもっともだと思います。

一方で歴史上の特定の有名問題についての事典の説明として、「問い」と「その解決」が "Dehn's invariant can be used to yield a negative answer also to [Hilbert's original question]" だけでおしまいなのにも個人的にはかなり抵抗があって非常に悩みました。

この原文の含意をきわめて主観的に推測するなら、Loasaさまが示唆されているように「ヒルの四面体と底面積と高さが等しく、底面が正三角形で軸対称な三角錐のデーン不変量が0ではない（ただし計算が厄介そうなので私は検算できていません）」⇒「だからこれら2つは、一方は立方体と分割合同で他方はそうでないのでヒルベルトの問いは反証された」という推論を読者に期待しているのかもしれません。いずれにしても、このギャップを埋めるような信頼できる典拠があれば私としてはそれを付して終わりにしたかったのですが、私の捜索能力では発見できず現状に至っております。--Zar2100（会話） 2019年7月5日 (金) 04:13 (UTC)[返信]

どうも今回は私の読み込みも推論も非常に浅はかだったようで申し訳ないです。「もしこの問いの答えが "yes" だと仮定すれば、任意の四面体は底面が同一で高さが 1/3 の三角柱と分割合同になり」とあるので、「"yes" だと仮定する」と、ほぼ自明に、もしくはごく簡単な推論で「1/3 の三角柱と分割合同」という結論が出るのかと思ってしまい、しかしちょっと考えてもわからなかったので「意味不明」などと攻撃的なことを書いてしまい、まことに申し訳ありませんでした。

しかし、自分の思慮の浅さを棚に上げて言うと、初等的とはいえこの程度の説明を必要とすることならば、「もしこの問いの答えが "yes" だと仮定すれば、任意の四面体は底面が同一で高さが 1/3 の三角柱と分割合同になることが示せる」（または「証明できる」）というくらいに書いていただければ良かったと思います。

ヒルの四面体に関しても、同じ底面積と高さを持つヒルの四面体と正四面体を考えればいいじゃないか、と安直に考えてしまいましたが、計算してみたら、少なくともリンク先で紹介しているヒルの四面体に関しては、同じ底面積と高さを正四面体は存在しないことがわかりました(^^ゞ

ですから、正直言って2019-07-05T11:57:46のコメントのような解答は考えてもいませんでした。でもこれは正解だと思います。

なお、志賀浩二、砂田利一『高校生に送る数学III』岩波書店、1996年。に、[ヒルベルト第3問題とデーンの定理を高校生向けに解説した講義録]があるそうです。「加法的関数を用いた解説」とあるので、おそらくそこで示されている解説こそが、Zar2100さんが示された『正解』と同じものだと思われます。私もまだ同書は見ていないのですが、大きな図書館ならあると思いますのでご確認いただければと思います。

ともあれ、今回の件では、あまりにも自分の思索も推論も浅すぎてお恥ずかしい限りです。勉強になりました。--Loasa（会話） 2019年7月10日 (水) 14:26 (UTC)[返信]

いえいえ、恐縮なさらなくて結構です。私がいただいたのは「指摘」であって「攻撃」ではありませんから。

「"yes" だと仮定する」と、ほぼ自明に、もしくはごく簡単な推論で「1/3 の三角柱と分割合同」という結論が出る

については、実を言って

「任意の四面体A-BCDに対して、三角形BCDを底面として高さが1/3の直角柱をBCD-B'C'D'、線分ABの三等分点をM,N(AM=MN=NB)とすると（略）四面体A-BCDと直角柱BCD-B'C'D'は分割合同です。」

のような記述をすべきか迷ったのですが、(1)翻訳元における記述も典拠も無しにダラダラ書くのはダメな気がする、(2)（嘘でない限り）細かい証明・説明抜きに事実を記述するのは特に珍しいことではない、(3)このルール（「"yes" だと仮定する」）の下で四面体を立方体に変形しようと試みるなら（私が思いつく限り）多分誰がやってもこう変形するしかない気がする、

との考えから、結局、最も保守的な立場をとって何も書かなかったのです。このように潔癖が過ぎたため誤解を招いてしまったように思います。

そこで、いただいた意見を拝借して、早速「～と示せる」という書き方に変えさせていただこうと思います（問題ありましたらどうぞ差し替えてください）。

また、書籍のご紹介をわざわざありがとうございます。機会があれば読んでみようと思いますし、それらの記述を元にどなたかが本記事を拡充してくださったら（日本語）初版作成者として嬉しいですね。--Zar2100（会話） 2019年7月10日 (水) 15:24 (UTC)[返信]