ノート:ウォルステンホルム素数

ウォルステンホルム商Wpをpで割ったときの剰余について

en:Wolstenholme prime (18:59, 16 October 2018 UTC) の翻訳により立項しましたが、原文では"Expected number of Wolstenholme primes"の末尾に次の一文があります。

"Empirically one may assume that the remainders of W_p modulo p are uniformly distributed in the set {0, 1, ..., p–1}. By this reasoning, the probability that the remainder takes on a particular value (e.g. 0) is about 1/p ."{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}

しかし典拠を見た限り、これに関係する記述は以下の箇所

"As numerical evidence suggests, we assume that the remainder modulo p of Wp is random."(McIntosh,1995より引用)

であるように思われ、現在判明しているのは単に「"the remainder modulo p of Wp"に規則性が見つからない」ことかと思います。原文にあるような非常に強い主張の根拠および主張の解釈自体（離散一様分布の可算直積を考えているのでしょうか…？）が私にはわからなかったため、翻訳しませんでした。知見をお持ちの方いらっしゃいましたらご教示ください。--Zar2100（会話） 2019年1月16日 (水) 08:56 (UTC)

翻訳おつかれさまです。これは random という言葉の解釈の問題かと。日常語と数学語ではニュアンスが異なる気がします。例えば乱数はミクロに見ると規則性がないようですが、マクロに見ると実は確率的に非常によく統制が取れている（0,1-乱数列ならば、0,1 が現れる確率は 1/2ずつ）。「数値計算によるとどうも random と見てよいようだ」という言い方から受ける印象では、英語版の説明は、一般人にも分かりやすく噛み砕いて説明してくれているだけであって妥当だと私には思えます。--白駒（会話） 2019年1月16日 (水) 19:49 (UTC)

ご意見ありがとうございます。ただ、この文の直前にあるように素数pについて「W_pをpで割った余りが0⇔pはウォルステンホルム素数」であり、ウォルステンホルム素数が現状2個しか見つかっていないことを考えると、「余りはランダムに見えるものの、（少なくとも）0は極端に避けているようだ」ぐらいの書き方になるかと思いました。この記述自体がなくても記事としては成立していると思うので、将来気が向いた方が加筆されるならそれに委ねることにしようと思います。--Zar2100（会話） 2019年1月18日 (金) 00:03 (UTC)

もし「W_p=0 となる確率が 1/p」が正しいとすると、x 未満のウォル（略）素数の個数の期待値は Σ1/p (和は p<x でとる) であり、メルテンスの定理によればこれは大体 loglog x です。これはものすごーくゆっくり発散するので、10^9 までにウォル素数が2個しか見つかっていないことと相反しません。実際、loglog 10^9 は 3 くらいです。所詮はヒューリスティックな議論ですから、省いて構わないと私も思いますが、そうするとウォル商 W_p をなぜわざわざ定義しているのか、読者には分かりづらいかな、とも思います。--白駒（会話） 2019年1月18日 (金) 03:30 (UTC)

なるほど、おっしゃる通りです！まさにこの数量関係を把握するところに私の変な先入観があって、誤った違和感をずっと持ってしまっていたようです。ご教示ありがとうございました。お手数おかけしました。--Zar2100（会話） 2019年1月18日 (金) 10:52 (UTC)