ニム和

ニム和（にむわ、英: Nim sum）は、３山くずしゲーム（ニム）、色１種類の線分消去ゲームなどの２人交互型ゲームで必勝法を使う際に必要となる、0以上の整数m,nに対する、特別なルール付きの加算で、ニム和(m,n)と表記する。ビットごとの排他的論理和とも呼ぶ。 ニム和(m,n)はm,nを２のべき乗の和で表したときの片方のみに出現する2のべき乗の合計である。 例えば、ニム和(6,12)=ニム和(2+4,4+8)=2+8=10である。2のべき乗である2と8は片方のみ、4は両方に出現している。 ３個以上の整数のニム和の計算は結合則が成り立つので、結合順番を省略でき、ニム和(m,n,k)と書くことができる。 ニム和は交換則が成立し、さらにニム和の逆演算であるニム差(m,n)はニム和(m,n)と一致する。 3個以上の整数のニム和は、それぞれの整数を２のべき乗の和で表し、同じ2のべき乗が2個あれば必ず0に置き換えるという規則の加算となる。

0以上7以下のニム和表

ニム和	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	0	3	2	5	4	7	6
2	2	3	0	1	6	7	4	5
3	3	2	1	0	7	6	5	4
4	4	5	6	7	0	1	2	3
5	5	4	7	6	1	0	3	2
6	6	7	4	5	2	3	0	1
7	7	6	5	4	3	2	1	0

ニム和計算を用いる必勝法

自分の番で打てる手のない人を負けとする標準型２人交互型ゲームでは、両者が最善の手を選択すれば、ニム和=0の局面をもらった本人の負け、相手の勝ちであり、ニム和＞0の局面をもらった本人は勝ち、相手の負けである。理由はニム和=0の局面をもらった人はいかなる手を選択してもニム和＞0の局面になり、ニム和＞0の局面をもらった人は適切な手を選択すれば必ずニム和=0の局面にでき、終了局面はニム和=0だからである。

例　３山くずしゲームで、6個,12個,9個の山を持つ局面(6,12,9)では、ニム和(6,12,9)=ニム和(2+4,4+8,1+8)=1+2=3 > 0　なので、どれか１つの山を１以上減らしてニム和を0にすることができる。 ニム和(6,12,9)=1+2の最大の２のべき乗である2を持つ山6にニム和(6,12,9)をニム和加算すると、 ニム和(6,ニム和(6,12,9))=ニム和(2+4,1+2)=1+4=5　となる。 したがって局面(6,12,9)で、6個の山から１個減らして、局面(5,12,9)に移行すると、ニム和(5,12,9)=0となる。

ニム和表の作成方法

方法１　ビットごとの排他的論理和を用いる。整数を２進数表現に変換し、ビットごとの排他的論理和を計算する。

例　ニム和(6,12)の場合、十進数6は0110で、十進数12は1100で、これらのビットごとの排他的論理和は1010で、十進数10となる。

方法２　未使用最小整数を用いる。0以上の整数m,nに対し以下の関数Gを計算し、 ニム和(m,n)=G(m,n)とする。すなわちゲームの局面の値は、次のゲームの局面の値として未使用の０以上の最小の整数であるというグランディ値の定義を利用する。

• G(0,0)=0。
• 正のmについて、G(m,0)はG(m -1,0),...,G(0,0)に値として使われていない最小の0以上の整数。
• 正のnについて、G(0,n)はG(0,n -1),...,G(0,0)に値として使われていない最小の0以上の整数。
• 正のm,nについて、G(m,n)はG(m,n -1),...,G(m,0),G(m -1,n),...,G(0,n)に値として使われていない最小の0以上の整数。

例 G(1,0)はG(0,0)=0に値として使われていない最小の0以上の整数なので1。同様にG(0,1)は1。 G(1,1)はG(1,0)=1 と G(0,1)=1に値として使われていない最小の0以上の整数なので0。 　　　

方法３　以下のニム和表の再帰的構成法を用いる。サイズ$2^{k}$の表は0以上$2^{k}-1$以下の整数m,nに対するニム和(m,n)表の値部分のことである。サイズ１の表４枚でサイズ２の表が、サイズ２の表４枚でサイズ４の表が、サイズ４の表４枚でサイズ８の表ができる。

• サイズ１の表は　値0　である。
• サイズ$2^{k+1}$の表は４枚のサイズ$2^{k}$の表を次のように配置する。

(左上)サイズ$2^{k}$の表の値+0　　(右上)サイズ$2^{k}$の表の値+$2^{k}$

(左下)サイズ$2^{k}$の表の値+$2^{k}$　 (右下)サイズ$2^{k}$の表の値+0