ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ（ナビエ–ストークスほうていしきのかいのそんざいとなめらかさ、英語: Navier–Stokes existence and smoothness）問題は、（例えば乱流のような）流体力学の重要な柱の一つであるナビエ-ストークス方程式の解の数学的性質に関連している。これらの方程式は空間の中の流体（つまり、液体や気体）の運動を記述する。ナビエ–ストークス方程式の解は、多くの実践的な応用で使われる。しかしながら、これらの方程式の理論的な理解は不完全である。特に、ナビエ–ストークス方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っている。

ナビエ–ストークス方程式の解の基本的性質さえ、証明されていない。方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、滑らかな解が常に存在すること、もし存在するとしたらその解が質量当たり有界なエネルギーを持っているかということを、数学的にはいまだに証明されていない。この問題を解の存在と滑らかさの問題という。

ナビエ–ストークス方程式の理解が、乱流のとらえどころのない現象の理解という第一段階と考えられているので、Clay Mathematics Institute（クレイ数学研究所）は2000年5月にこの問題を、数学の 7つのミレニアム懸賞問題の一つとした。最初にこの問題の解を与えたものに$1,000,000を賞金として進呈すると約束した。

次のステートメントを証明、もしくは反例を挙げよ:

3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義される。

ナビエ-ストークス方程式

→詳細は「ナビエ-ストークス方程式」を参照

数学では、ナビエ-ストークス方程式は、任意の大きさの抽象的なベクトル場の非線型偏微分方程式系である。物理学や工学では、連続体力学を使った非圧縮な気体、もしくは液体を主とした流体の運動のモデル化した方程式の系である。 方程式はニュートンの第二法則の主張であり、圧力や粘性ストレスや外の物体からの力の寄与の和として、粘性を持ったニュートン流体の中のこれらの場に沿ってモデル化された力を持っている。クレイ数学研究所によって提起されている問題の設定は、3次元の非圧縮で等質な液体に対してであり、以下で考える場合についてである。

$\mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)$ を流体の速度の 3次元のベクトル場とし、$p({\boldsymbol {x}},t)$ を流体の圧力の場とする。 ナビエ-ストークス方程式は、

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)$

である。ここに $\nu >0$ は力学的粘性、$\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)$ は外の力、$\nabla$ は勾配(gradient)作用素であり、$\displaystyle \Delta$ はラプラス作用素で $\nabla \cdot \nabla$ とも書く。これは、ベクトル方程式、すなわち、3つのスカラー方程式である。速度と外力の座標を書き下すと、

$\mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}$

となるので、各々の $i=1,2,3$ に対し、対応するスカラーのナビエ-ストークス方程式

${\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t)$

が存在する。

速度 $\mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)$ と圧力 $p({\boldsymbol {x}},t)$ は未知数である。3次元では、3つの方程式と 4つの未知数（3つのスカラー速度と圧力）があるので、補助的な方程式が必要である。この余剰な方程式は、次の流体の非圧縮性を記述する連続の方程式

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0.$

である。この性質のおかげで、ナビエ-ストークス方程式の解は、「発散のない」函数の集合の中に探し求めることができる。この等質な媒体の流れについて、密度と粘性は定数である。

圧力 p は、ナビエ-ストークス方程式の両辺の rot 作用ととる（代わりに curl という記号もある）ことにより省略できる。この場合には、ナビエ-ストークス方程式は渦方程式(vorticity-transport equation)へ還元できる。2次元(2D)の場合、これらの方程式は良く知られている [6, p. 321]。（渦度・流れ関数法も参照）

2つの設定：非有界空間と周期的な空間

100万ドル賞であるナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題には、2つの異なった設定がある。もともとの問題は、$\mathbb {R} ^{3}$ の空間全体の中（の問題）であり、これには初期値と解の増大性の振る舞いに余剰な条件を必要とする。無限遠点での問題を度外視するために、ナビエ-ストークス方程式は周期的なフレームワークでの設定が可能であり、このことはもはや $\mathbb {R} ^{3}$ の空間全体ではなく、3次元トーラス $\mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}$ の中での問題である。別々にわけて取り扱うことにする。

全体の空間での問題

前提条件と増大条件

初期条件 $\mathbf {v} _{0}(x)$ は滑らかであり、発散のない函数（滑らかな函数を参照）であり、任意の多重指数 $\alpha$（多重指数を参照）と $K>0$ に対して、定数 $C=C(\alpha ,K)>0$ が存在して（すなわち、この「定数」は $\alpha$ と K に依存する）、

全ての $\qquad x\in \mathbb {R} ^{3}$ に対し、$\vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad$ であることを前提とする。

外力 $\mathbf {f} (x,t)$ は同様に滑らかであることを前提とし、次の似たような不等式を満たす（ここでは、多重指数は同様に時間微分を意味する）。

全ての $\qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )$ に対し、$\vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x,t)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad$ となる。

物理的に合理的条件のため、期待される解のタイプは $\vert x\vert \to \infty$ ほどは増大度を持たない滑らかな函数とする。詳しくは、次の前提を設定する。

1. $\mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))$
2. ある定数 $E\in (0,\infty )$ が存在し、全ての $t\geq 0$ に対し $\int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E$ となる。

条件 1 は函数が滑らかで大域的定義されていることを意味し、条件 2 は解の運動エネルギーが大域的に有界であることを意味する。

空間全体での予想

(A) $\mathbb {R} ^{3}$ でのナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

$\mathbf {f} (x,t)\equiv 0$ とする。上に述べた前提を満たす初期条件 $\mathbf {v} _{0}(x)$ に対し、滑らかで大域的に定義されたナビエ-ストークス方程式の解が存在する。すなわち、速度ベクトル $\mathbf {v} (x,t)$ と圧力 $p(x,t)$ が存在し、上の条件 1 と 2 を満たす。

(B) $\mathbb {R} ^{3}$ でナビエ-ストークス方程式を解けないこと

上の条件 1 と 2 を満たす解 $\mathbf {v} (x,t)$ と $p(x,t)$ が存在しないような初期条件 $\mathbf {v} _{0}(x)$ と外力 $\mathbf {f} (x,t)$ が存在する。

周期的条件の問題

前提条件

ここでは、問題の函数を周期 1 の空間変数の周期性を持っているとする。さらに詳しくは、次のように $e_{i}$ を i-方向の単位ベクトルとする。

$e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1).$

$\mathbf {v} (x,t)$ は、全ての $i=1,2,3$ に対して、次が成立する場合、周期的である。

全ての $(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )$ に対し、$\mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t)$ となる。

座標を mod 1で考えることに注意する。これは空間全体 $\mathbb {R} ^{3}$ ではうまくいかないが、3次元トーラスである次の商空間上ではうまくいく。

$\mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.$

ここで初めて、前提条件を取り出して記述することができる。初期条件 $\mathbf {v} _{0}(x)$ は滑らかで発散のない函数であることを前提とし、外力 $\mathbf {f} (x,t)$ も同様に滑らかであることを前提とする。物理的に適切な解のタイプは、次の条件を満たす解である。

3. $\mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))$

4. ある定数 $E\in (0,\infty )$ が存在し、全ての $t\geq 0$ に対し、$\int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E$ となる。

前の場合と全く同様に、条件 3 は函数が滑らかで大域的に定義されていることを意味し、条件 4 は解の運動方程式が大域的に有界であることを意味する。

周期的な場合の問題

(C) $\mathbb {T} ^{3}$ でのナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

$\mathbf {f} (x,t)\equiv 0$ とする。上でのべた前提条件を満たす初期条件 $\mathbf {v} _{0}(x)$ に対し、滑らかで大域的に定義されたナビエ–ストークス方程式の解が存在する、つまり、速度ベクトル $\mathbf {v} (x,t)$ と圧力 $p(x,t)$ が存在し、上の条件 3 と 4 を満たす。

(D) $\mathbb {T} ^{3}$ でナビエ–ストークス方程式が解けないこと

上の条件 3 と 4 を満たす解 $\mathbf {v} (x,t)$ と $p(x,t)$ が存在しないような初期条件 $\mathbf {v} _{0}(x)$ と外力 $\mathbf {f} (x,t)$ が存在する。

部分的結果

1. 1960年以来、2次元のナビエ–ストークスの問題は既に解けている。滑らかな大域的に定義された解は存在する。
2. 初期速度 $\mathbf {v} (x,t)$ が充分小さい場合は、予想は正しい。ナビエ–ストークス方程式には滑らかで大域的に定義された解が存在する。
3. 初期速度 $\mathbf {v} _{0}(x)$ が与えられると、$\mathbf {v} _{0}(x)$ に依存した有限時刻 T が存在し、$\mathbb {R} ^{3}\times (0,T)$ 上のナビエ–ストークス方程式は、滑らかな解 $\mathbf {v} (x,t)$ と $p(x,t)$ を持つ。「爆発時刻」T を超えての解が存在するか否かはしられていない。
4. 1934年、ジャン・ルレイは、平均値で方程式を満たすがポイントワイズ(pointwise)ではない、いわゆるナビエ–ストークス方程式の弱解の存在を証明した。
5. 2016年、テレンス・タオは平均化された三次元ナビエ–ストークス方程式における有限時間爆発解を発表した。彼は、この結果によりナビエ–ストークス方程式の大域的正則性問題の "supercriticality barrier" が定式化できること、およびこの証明手法がナビエ–ストークス方程式の爆発解を構成する為の手がかりとなることを主張した。

外部リンク

• The Clay Mathematics Institute's Navier–Stokes equation prize
• Why global regularity for Navier–Stokes is hard — Possible routes to resolution are scrutinized by Terence Tao.
• Fuzzy Fluid Mechanics
• Navier–Stokes existence and smoothness (Millennium Prize Problem) A lecture on the problem by Luis Caffarelli.