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ド・ブランジュ空間 」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：
en:De Branges space ）
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（2017年3月 ）
数学 において、ド・ブランジュ空間 (ドブランジュくうかん 英 : de Branges space 関数解析学 上の概念であり、ド・ブランジュ関数 を用いて構築される。
この概念の名前は、この空間に関する多くの定理、特にヒルベルト空間としての性質について証明し、それらを用いてビーベルバッハ予想 を証明したルイ・ド・ブランジュ にちなむ。
ド・ブランジュ関数 (de Branges function
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
整関数 E のうち、複素平面 の上半平面 に属する全ての z について不等式
|
E
(
z
)
|
>
|
E
(
z
¯
)
|
{\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}
あるド・ブランジュ関数 E に対して、ド・ブランジュ空間 B (E )整関数 全体と定義される。
F
/
E
,
F
#
/
E
∈
H
2
(
C
+
)
{\displaystyle F/E,F^{\#}/E\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}
ここで、
C
+
=
{
z
∈
C
|
I
m
(
z
)
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} |{\rm {Im(z)}}>0\}}
F
#
(
z
)
=
F
(
z
¯
)
¯
{\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}
H
2
(
C
+
)
{\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}
ハーディ空間 である。ド・ブランジュ空間は、次の条件を満す整関数 F 全体として定義することもできる。
∫
R
|
(
F
/
E
)
(
λ
)
|
2
d
λ
<
∞
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}\mathrm {d} \lambda <\infty }
|
(
F
/
E
)
(
z
)
|
,
|
(
F
#
/
E
)
(
z
)
|
≤
C
F
(
Im
(
z
)
)
(
−
1
/
2
)
,
∀
z
∈
C
+
{\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}
あるド・ブランジュ空間 B (E )
[
F
,
G
]
=
1
π
∫
R
F
(
λ
)
¯
G
(
λ
)
d
λ
|
E
(
λ
)
|
2
{\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {\mathrm {d} \lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}}
このような積を持つド・ブランジュ空間はヒルベルト空間 であることを証明できる。
Christian Remling (2003). “Inverse spectral theory for one-dimensional Schrödinger operators: the A function”. Math. Z. 245 : 597–617. doi :10.1007/s00209-003-0559-2 . 
![{\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {\mathrm {d} \lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3109bfe83477d1ec27ee1abfb94e16b68a6729f)