デデキントの補題 またはデデキントの独立性定理 （独 : Unabhängigkeitssatz von Dedekind ）は、数学者 リヒャルト・デーデキント に帰せられる代数学 の命題で、半群 から可換体 の単元群 への準同型 写像族があるとき、それらの線型独立 性について述べるものである。ガロア理論 の基本的な構成定理に用いられる。
Kurt Meyberg （ドイツ語版 ） [ 1]
（乗法的に書かれた）半群
H
≠
∅
{\displaystyle H\neq \emptyset }
K
{\displaystyle K}
H
{\displaystyle H}
K
∗
{\displaystyle K^{*}}
K
{\displaystyle K}
σ
1
,
…
,
σ
n
(
n
∈
N
)
{\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}\;\;(n\in \mathbb {N} )}
(A1)
σ
1
,
…
,
σ
n
{\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}}
(A2)
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
ベクトル空間 とみなして
A
b
b
(
H
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)}
σ
1
,
…
,
σ
n
{\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}}
A
b
b
(
H
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)}
エミール・アルティン [ 2] [ 1]
準同型の個数に関する数学的帰納法 を用いる。
n
=
1
{\displaystyle n=1}
k
1
∈
K
{\displaystyle k_{1}\in K}
k
1
σ
1
=
0
∈
A
b
b
(
H
,
K
)
{\displaystyle k_{1}\sigma _{1}=0\in \mathrm {Abb} (H,K)}
このとき
k
1
σ
1
(
x
)
=
0
(
∀
x
∈
H
)
{\displaystyle k_{1}\sigma _{1}(x)=0\;\;(\forall x\in H)}
H
≠
∅
{\displaystyle H\neq \emptyset }
k
1
σ
1
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle k_{1}\sigma _{1}(x_{0})=0}
x
0
∈
H
{\displaystyle x_{0}\in H}
σ
1
(
x
0
)
∈
K
∖
{
0
}
{\displaystyle \sigma _{1}(x_{0})\in K\setminus \{0\}}
K
{\displaystyle K}
零因子 を持たないことから、
k
1
=
0
{\displaystyle k_{1}=0}
次に
n
>
1
{\displaystyle n>1}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
k
1
,
…
,
k
n
{\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}
A
b
b
(
H
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)}
(a)
∑
j
=
1
n
k
j
σ
j
=
0
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{k_{j}\sigma _{j}}=0}
を満たすならば
(b)
k
1
=
…
=
k
n
=
0
{\displaystyle k_{1}=\ldots =k_{n}=0}
であることを示せばよい。
まず、
σ
1
≠
σ
n
{\displaystyle \sigma _{1}\neq \sigma _{n}}
σ
1
(
h
0
)
≠
σ
n
(
h
0
)
{\displaystyle \sigma _{1}(h_{0})\neq \sigma _{n}(h_{0})}
h
0
∈
H
{\displaystyle h_{0}\in H}
h
0
∈
H
{\displaystyle h_{0}\in H}
(a) から
(c)
0
=
∑
j
=
1
n
k
j
σ
j
(
x
)
∈
K
(
∀
x
∈
H
)
{\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{n}{k_{j}\sigma _{j}(x)}\in K\;\;(\forall x\in H)}
が成り立つ。
半群の定義から
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
h
0
x
∈
H
{\displaystyle h_{0}x\in H}
(c) より
(d)
0
=
∑
j
=
1
n
k
j
σ
j
(
h
0
x
)
=
k
1
σ
1
(
h
0
)
σ
1
(
x
)
+
∑
j
=
2
n
k
j
σ
j
(
h
0
)
σ
j
(
x
)
{\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{n}{k_{j}\sigma _{j}(h_{0}x)}=k_{1}\sigma _{1}(h_{0})\sigma _{1}(x)+\sum _{j=2}^{n}{k_{j}\sigma _{j}(h_{0})\sigma _{j}(x)}}
が得られる。一方、
(e)
0
=
σ
1
(
h
0
)
∑
j
=
1
n
k
j
σ
j
(
x
)
=
k
1
σ
1
(
h
0
)
σ
1
(
x
)
+
∑
j
=
2
n
k
j
σ
1
(
h
0
)
σ
j
(
x
)
{\displaystyle 0=\sigma _{1}(h_{0})\sum _{j=1}^{n}{k_{j}\sigma _{j}(x)}=k_{1}\sigma _{1}(h_{0})\sigma _{1}(x)+\sum _{j=2}^{n}{k_{j}\sigma _{1}(h_{0})\sigma _{j}(x)}}
である[ 注釈 1]
等式 (d) から等式 (e) を引くと、次式が得られる。
(f)
0
=
∑
j
=
2
n
k
j
(
σ
j
(
h
0
)
−
σ
1
(
h
0
)
)
σ
j
(
x
)
{\displaystyle 0=\sum _{j=2}^{n}{k_{j}{\bigl (}\sigma _{j}(h_{0})-\sigma _{1}(h_{0}){\bigr )}\sigma _{j}(x)}}
これが任意の
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
A
b
b
(
H
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)}
(g)
0
=
∑
j
=
2
n
k
j
(
σ
j
(
h
0
)
−
σ
1
(
h
0
)
)
σ
j
{\displaystyle 0=\sum _{j=2}^{n}{k_{j}{\bigl (}\sigma _{j}(h_{0})-\sigma _{1}(h_{0}){\bigr )}\sigma _{j}}}
である。数学的帰納法の仮定より
σ
2
,
…
,
σ
n
{\displaystyle \sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n}}
K
{\displaystyle K}
A
b
b
(
H
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)}
(g) より
(h)
k
j
(
σ
j
(
h
0
)
−
σ
1
(
h
0
)
)
=
0
(
j
=
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle k_{j}{\bigl (}\sigma _{j}(h_{0})-\sigma _{1}(h_{0}){\bigr )}=0\;\;(j=2,\ldots ,n)}
であり、特に
(i)
k
n
(
σ
n
(
h
0
)
−
σ
1
(
h
0
)
)
=
0
{\displaystyle k_{n}{\bigl (}\sigma _{n}(h_{0})-\sigma _{1}(h_{0}){\bigr )}=0}
である。
σ
n
(
h
0
)
−
σ
1
(
h
0
)
≠
0
{\displaystyle \sigma _{n}(h_{0})-\sigma _{1}(h_{0})\neq 0}
(i) より、
(j)
k
n
=
0
{\displaystyle k_{n}=0}
が得られ、(j) を (a) に代入すると、
A
b
b
(
H
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)}
(k)
∑
j
=
1
n
−
1
k
j
σ
j
=
0
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}{k_{j}\sigma _{j}}=0}
が分かる。ここで再び数学的帰納法の仮定（線型独立性）から、ただちに
(l)
k
1
=
…
=
k
n
−
1
=
0
{\displaystyle k_{1}=\ldots =k_{n-1}=0}
が従う。(j) と (l) から (b) が得られる。
明らかである（線型独立であるベクトルの組に同一の2元は存在し得ない）。
体
K
1
{\displaystyle K_{1}}
K
2
{\displaystyle K_{2}}
単射 ）体準同型の任意の族
(
σ
i
:
K
1
→
K
2
)
i
∈
I
{\displaystyle ({{\sigma }_{i}\colon \,K_{1}\to K_{2}})_{i\in I}}
K
2
{\displaystyle K_{2}}
A
b
b
(
K
1
,
K
2
)
{\displaystyle \mathrm {Abb} (K_{1},K_{2})}
任意の有限次拡大
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
自己同型群 の位数 は拡大次数 以下である。
|
A
u
t
(
L
/
K
)
|
≤
[
L
:
K
]
{\displaystyle |\mathrm {Aut} (L/K)|\leq [L\colon K]}
独立性に関する本命題（または非常に近い内容の命題）は、代数学の文献において様々な名称で呼ばれている。ファン・デル・ヴェルデン は、単に独立性定理（Unabhängigkeitssatz）と呼んでいる[ 3] Karpfinger （ドイツ語版 ） [ 4] Paul Cohn （英語版 ） [ 5] [ 6]
同じくデデキントに帰せられる、関連した結果がある。
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
このとき
[
L
:
K
]
=
|
Γ
|
{\displaystyle [L\colon K]=|{\Gamma }|}
Karpfinger と Meyberg はこの命題を「デデキントの定理」と呼んでいる。英語の代数学の文献（例えば Paul Cohn）では、数学者エミール・アルティンとの関連からアルティンの定理としても知られている。ただし Cohn は、命題の実際の考案者はアルティンではなくデデキントであることを明示している[ 5] [ 注釈 2]
Kurt Meyberg は "Algebra"(Teil 2) の中で「アルティンの定理」について述べている[ 7] [ 8]
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
(A)
L
/
K
{\displaystyle L/K}
ガロア拡大 である[ 注釈 3] (B)
[
L
:
K
]
=
|
A
u
t
(
L
/
K
)
|
{\displaystyle [L\colon K]=|\mathrm {Aut} (L/K)|}
(C)
L
/
K
{\displaystyle L/K}
正規拡大 で、かつ分離拡大 である。(D)
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
分離多項式 の
K
{\displaystyle K}
最小分解体 である。R B J T Allenby (1991), Rings, Fields and Groups: An Introduction to Abstract Algebra (ドイツ語) (2. ed.), London (u. a.): Arnold MR1144518 E. Artin (1968), Galoissche Theorie (ドイツ語), Berlin (u. a.): Verlag Harri Deutsch P. M. Cohn (1989), Algebra: Volume 2 (ドイツ語) (9. ed.), London (u. a.): John Wiley & Sons , ISBN 0-471-92234-X MR1006872 Richard Dedekind (1964), Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen: Mit einem Geleitwort von B. van der Waerden (ドイツ語), Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn MR0175878 Christian Karpfinger, Kurt Meyberg (2009), Algebra: Gruppen - Ringe - Körper (ドイツ語), Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag , ISBN 978-3-8274-2018-3 Kurt Meyberg (1976), Algebra: Teil 2 , Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure (ドイツ語), Wien: Carl Hanser Verlag , ISBN 3-446-12172-2 MR0460011 B. L. van der Waerden (1993), Algebra I (ドイツ語) (9. ed.), Berlin (u. a.): Springer Verlag , ISBN 3-540-56799-2
^ a b Meyberg: Algebra. Teil 2. 1975, pp.63-65
^ Artin: Galoissche Theorie. 1968, pp.28-30
^ van der Waerden: Algebra I. 1993 , pp.159-163
^ Karpfinger-Meyberg: Algebra. Gruppen - Ringe - Körper. 2009, p.288
^ a b Cohn: Algebra vol. 2. 1989, p.81, p.84
^ Allenby: Rings, Fields and Groups. 1991, p.295
^ Kurt Meyberg: Algebra , Teil 2. Carl Hanser Verlag, Wien 1976, p.73
^ Kurt Meyberg: Algebra , Teil 2. Carl Hanser Verlag, Wien 1976, p.75
^
K
{\displaystyle K}
^ Cohn はデデキントの著作 "Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen"（1964年の再版）、p.50 の記述に触れている。§ 166, I. の内容を直接引くと次の通り。"Besteht eine Gruppe
Π
{\displaystyle \Pi }
n
{\displaystyle n}
π
{\displaystyle \pi }
M
{\displaystyle M}
A
{\displaystyle A}
Π
{\displaystyle \Pi }
(
M
,
A
)
=
n
{\displaystyle (M,A)=n}
Π
{\displaystyle \Pi }
A
{\displaystyle A}
^ （訳注）「ガロア拡大」には (B),(C),(D) を含む幾通りもの同値な定義があるが、ここでは原文を直訳した。
![{\displaystyle |\mathrm {Aut} (L/K)|\leq [L\colon K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49b7f1f9631bb801462106c7cec9caba858bb54)
![{\displaystyle [L\colon K]=|{\Gamma }|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582a1d76dfb9c1d657af97d0957dacbe13978464)
![{\displaystyle [L\colon K]=|\mathrm {Aut} (L/K)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2f58d1a8f3ac8148e5c5b0075b7e4bbd3d3ef5)
