ディリクレ定理

ディリクレ定理 (ディリクレていり、英：？) は、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレが証明したディリクレの定理(Dirichlet's_theorem)という名前が名付けられた定理のひとつで、フーリエ級数の収束についての定理である。

解説

この定理は以下の通りに書くことができる。

実関数 $f\,$ が 周期 2${\mathit {L}}$ 周期関数でありながら、連続関数、そして 開区間 (-$\pi$, $\pi$) で 極値が有限個存在するならば、関数 $f\,$のフーリエ級数 ${\mathit {S}}_{N}(f)(\theta )=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\exp \left({\frac {in\pi \theta }{L}}\right)$ は全ての $\theta$ について $f\,$ に一様収束する。(此処で$c_{n}$はフーリエ係数である。)

この記事では便宜上 関数 $f\,$ の周期を 2$\pi$ と設定した。

証明の型

関数 $f\,$ が 閉区間 [-$\pi$, $\pi$]でリーマン積分可能でありながら、ある $\theta$ ∈ [-$\pi$, $\pi$] で連続ならばフェイェールの定理によって整数 $n$ と $k$について $n\rightarrow \infty$ の時、$\sigma _{kn,n}(f)(\theta )\rightarrow f(\theta )$ が成り立つ。 そこで $\sigma _{N,K}(f)(\theta )=\sum _{m=N}^{N+K-1}\left({\frac {{\mathit {S}}_{m}(f)(\theta )}{K}}\right)$ だ。

もし、関数 $f\,$のフーリエ係数 $c_{n}$ が ランダウの記号を使って $c_{n}=O\left({\frac {1}{|n|}}\right)$と書くことが出来れば連続な所で$f\,$のフーリエ級数は$f\,$に収束する。

上記の 「実関数 $f\,$が 周期 2$\pi$の周期関数でありながら、連続関数、そして開区間 (-$\pi$, $\pi$) で極値が有限個存在する」という条件が $c_{n}=O\left({\frac {1}{|n|}}\right)$ を成り立たせる。 その上、連続関数なので $f\,$に一様収束することも分かる。

参考文献

• 日本評論社編、エリアス・M. スタイン ラミ・シャカルチ 著、 新井仁之、杉本充、 高木啓行、 千原浩之 訳「フーリエ解析入門」2007年。ISBN 978-4-535-60891-7