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スツルム=リウヴィル型微分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

スツルム=リウヴィル型微分方程式(-がたびぶんほうていしき、: Sturm–Liouville equation)とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム英語版 (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式

(1 )

のことである。ここで y関数であり、x実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、 w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。

y = 0 (for ∀x )は任意のλに対して(1)の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。

予め決められた境界条件のもとで、自明でない(1)の解 y が存在するようなλを見つけることをスツルム=リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値y固有関数と呼ぶ。

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微分方程式(1)の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式

は以下のように、

Sturm–Liouville 形式に変形することができる。

たとえば ベッセル方程式

とSturm–Liouville 形式に変形できる。

その他の例としては、

ルジャンドルの微分方程式

エルミートの微分方程式

ラゲールの微分方程式

がある。

Sturm–Liouville 理論

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p (x ) > 0, w (x ) > 0 が成り立ち、かつ、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が有限閉区間 [ab]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件

(2)
(3)

を持つとき、この境界値問題をスツルム=リウヴィル型の境界値問題という。


スツルム=リウヴィル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論):

  • 固有値はすべて実数で、離散的な値をとる。固有値は最小値をもつが最大値は持たない。
  • 固有値を小さい順にλ1 , λ2 , λ3 , ... と番号をつけると、固有値 λn に対応する固有関数 yn (x ) は定数倍をのぞいて実関数として一意に存在し、開区間 (ab) にn −1 個の零点を持つ。
  • 規格化された固有関数は、境界条件(2)(3)を満たす関数のつくるヒルベルト空間において、正規直交基底を形成する。ただし、内積 で定義される。


なお、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つ(弱解)と考えなければいけない。

関連項目

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参考文献

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  • Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/  (Chapter 5)
  • Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/  (see Chapter 9 for singular S–L operators and connections with quantum mechanics)