シングルトン限界

シングルトン限界（英: Singleton bound）とは、符号のパラメータの比較的大雑把な限界値を指す。符号 C のパラメータとは、符号語の長さ $n$ 、シンボル数（アルファベット） $r$ 、最小ハミング距離 $d$ である。

定理

$q$ 個の要素の体上の符号において、符号語の長さが $n$ であり符号の最小ハミング距離が $d$ であるとする。すなわち、任意の2つの符号語 $w$ と $w'$ について ${\textrm {D}}_{H}(w,w')\geq d$ が成り立つとする。

このような符号の符号語数の最大値を $A_{q}(n,d)$ とする。このとき

A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}

が成り立つ。

q進数の符号で、符号語の長さが n なら、符号語数 r の最大は qⁿ となる（符号語の各桁は他の桁とは独立に q 種類の値をとりうるため）。

C がq進数の符号であるとする。その全符号語 $c\in C$ はそれぞれ異なる。各符号語の先頭から $d-1$ 桁を除去したとき、全符号語の最小ハミング距離は $d$ なので、残った符号語もそれぞれ異なる値でなければならない。したがって、符号語数 $r$ は変化しない。

この新たな符号の長さは

n-(d-1)=n-d+1

となり、可能な最大符号語数は

q^{n-d+1}

となる。したがって、元の符号も符号語数について同じ限界を持つ。

A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}