シュワルツの鏡像の原理

複素解析において、シュワルツの鏡像の原理 (シュワルツのきょうぞうのげんり、英: Schwarz reflection principle) は、正則関数の定義域を対称的な領域にまで拡張する定理である。

ヘルマン・シュワルツ (Hermann Schwarz) の名にちなむ。

数学的な記述

定理の最も基本的な形を正確に述べれば以下のようになる。

U ⊂ C を領域とし、U_± = {z ∈ U | ±Im z > 0}, I = U ∩ R とおく。

U は実軸に関して対称、すなわち $\{{\bar {z}}\mid z\in U\}=U$ が成り立つとする。

f: U₊ ∪ I → C を U₊ 上正則であるような連続関数とし、I 上常に実数値を取るものとする。

このとき f は D 上の正則関数 ${\tilde {f}}$ に拡張（解析接続）でき、${\tilde {f}}$ は

${\tilde {f}}={\begin{cases}f(z)&z\in U_{+}\cup I\\{\overline {f({\bar {z}})}}&z\in U_{-}\end{cases}}$

と書ける。

参考文献

• Ahlfors, Lars V. (1979). Complex Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1 
• 野口, 潤次郎『複素解析概論』（第6版）裳華房〈数学選書12〉、2002年。ISBN 978-4-7853-1314-2。 
• 田村, 二郎『解析関数（新版）』（第28版）裳華房〈数学選書3〉、2003年。ISBN 978-4-7853-1307-4。