サルとココナッツ

サルとココナッツ（英: the monkey and the coconuts）は、無人島に流れ着いた5人の水夫と1匹のサルがココナッツの山を分け合うという設定の数学パズルで、ディオファントス方程式に関連した問題である。

歴史

この問題は、アメリカの長編・短編作家ベン・エイムズ・ウィリアムズ（英語版）が古くからあった問題を改作してサタデー・イブニング・ポストの1926年10月9日の号に掲載した^[1]ことで悪名高く知られるようになった。ここにウィリアムズ自身が記した形で問題を述べる：

5人の水夫と1匹のサルが難破船からある島に漂着した。彼らは最初の晩をココナッツ集めで過ごした。夜中水夫の1人が目を覚まし、自分のココナッツの取り分を持っていくことにした。彼がココナッツの山を5つに分けると、1個だけ余りが出たのでそれはサルにやることにし、自分の分は隠して再び眠りに就いた。

そのすぐ後に、2人目の水夫が目を覚まし、同じことをした。ココナッツの山を5つに分けると1個だけ余りが出たので、それはサルにやった。彼は自分の分け前を隠し、寝床に戻った。3人目、4人目、5人目の水夫もこれと全く同じことを続けて行った。翌朝全員が目を覚まし、残っているココナッツの山をきっちり5等分した。このときは余りは出なかった。

元々あったココナッツは、最も少ない場合、いくつだっただろうか。

サタデー・イブニング・ポストには問題の答えを知りたいという2000通以上の手紙が殺到した。編集長のジョージ・ホレイス・ロイマー（英語版）はいみじくも即座にウィリアムズに打電してこう伝えた："FOR THE LOVE OF MIKE, HOW MANY COCONUTS? HELL POPPING AROUND HERE（後生だから、ココナッツはいくつか教えてくれ。こっちはすごいことになっている）." ウィリアムズには続く20年、答を尋ねる手紙が届き続けることになる^[2]。

ウィリアムズはより混乱を誘うため、古くからあった問題を改作していた。古い版では、最後の分配のときもまずサルに1個やってからちょうど5等分することになっている。ウィリアムズ版では最後に残る山はそのままで5等分できる^[3]。

マーティン・ガードナーはサイエンティフィック・アメリカン1958年4月号上の彼のコラムMathematical Games column（英語版）の中でこの問題を特集している。彼はこの問題がお気に入りだと息子のジムにかつて言っており^[4]、後にコラムのベスト集 " The Colossal Book of Mathematics^[2] "で第1章にしているほどである。彼は、サルとココナッツの問題は「おそらく、最も多く挑戦され、最も正解者が少ない」代数のパズルだと言っている^[1]。以来、ウィリアムズ版の問題はレクリエーショナルマセマティクス（英語版）の定番になっている^[5]。この問題を含んだ元の物語は1962年のクリフトン・ファディマン（英語版）の選集、" The Mathematical Magpie（英語版）^[6]" （"magpie"とはカササギのことだが、「何でも集めたがり屋」の意味もある）に全文が載るかたちで再版されることとなった。この本はアメリカ数学協会（英語版）の、大学学部生向け数学図書室への推薦図書となっている^[7]。

解

ガードナーは彼のコラムの中で、オリジナル版、ウィリアムズ版の双方に完全な解析を与えた。彼はまず、比較的ややこしくないオリジナル版から着手した。N を最初にあったココナッツの数、F を翌朝の最後の5等分でそれぞれの水夫が受け取ったココナッツの数とする。このとき、次のディオファントス方程式が成り立つ^[2]^{[注釈 1]}：

1024 N = 15625 F + 11529

ガードナーの指摘では、この方程式は試行錯誤で解くには複雑すぎる^[8]。さらにこの方程式には無数の解が存在する。実際、もし(N, F) が解なら、任意の整数 t に対して (N + 15625 t, F + 1024 t) も解である。このことから、解には負の整数も現れることがわかる。絶対値の大きくない負数をいくつか試してみると、N = -4, F = -1 が解になっていることがわかる^[9]。これではココナッツの数がマイナスとなって不合理なので、-4に15625を、-1に1024をそれぞれ加えることで、最小の正整数解 (15621, 1023) が得られる^[10]。ガードナーはこのケースを一般化した問題を解き、さらにウィリアムズ版の解を N = 5⁵ - 4 = 3121 と求めている。

出典と注釈

^ ^a ^b Pleacher (2005)
^ ^a ^b ^c Gardner (2001)
^ Antonick (2013)
^ Antonick(2013): 『私はジムに、父さんにはお気に入りのパズルはあったかと聞いたが、彼はほとんど即座に「サルとココナッツ」と答えた。マーティンはこの問題がたいそう気に入っていた』
^ Wolfram Mathworld
^ KIRKUS REVIEW of The Mathematical Magpie July 27, 1962
^ The Mathematical Magpie, by Clifton Fadiman, Mathematical Association of America, Springer, 1997
^ Gardner (2001) p. 4: 『この方程式は試行錯誤で解くには複雑すぎる。また、解を得るのに連分数展開を巧みに用いた標準的な手続きがあるが、長くて骨が折れるものである』
^ Bogomolny (1996)
^ Gardner (2001) p. 5: 『この解は時折ケンブリッジ大学の物理学者ポール・ディラック(1902-1984)に帰せられることがあるが、私がディラック教授に宛てた質問の回答によれば、彼はこの解を数学教授の（著名な哲学者アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドの甥でもある）J・H・C・ホワイトヘッド（英語版）から得たという。ホワイトヘッド教授に同じ質問をするとどこかの誰かから教わったとのことだったが、私はここでそれ以上の追求をやめた』

補足

^ （訳注） $N$ をココナッツの数とすると、ここから1個除いて 1/5 を取り去ると残りは ${\frac {4}{5}}(N-1)$ 個である。これを5回繰り返し、残りから1個除いて5等分すると
$F={\frac {1}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}(N-1)-1\right\}-1\right\}-1\right\}-1\right\}-1\right\}$
が得られる。 $F$ が整数であることと、取り分けの各ステップでの数が全て整数であることは同値である。方程式の解法や性質の詳細についてはディオファントス方程式、特にベズー方程式を参照。

参考文献

Antonick, Gary (2013). Martin Gardner’s The Monkey and the Coconuts in Numberplay The New York Times:, October 7, 2013
Pleacher, David (2005). Problem of the Week: The Monkey and the Coconuts May 16, 2005
Gardner, Martin (2001). The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems W.W. Norton & Company; ISBN 0-393-02023-1
Pappas, Theoni (1993). Joy of Mathematics: Discovering Mathematics All Around| Wide World Publishing, January 23, 1993, ISBN 0933174659
Wolfram Mathworld: Monkey and Coconut Problem
Kirchner, R. B. "The Generalized Coconut Problem." Amer. Math. Monthly 67, 516-519, 1960.
Fadiman, Clifton (1962). The Mathematical Magpie, Simon & Schuster
Bogomolny, Alexander (1996) Negative Coconuts at cut-the-knot

外部リンク

Monkeys and Coconuts - Numberphile video

[pleacher-1] Pleacher (2005)

[gardner-2] Gardner (2001)

[3] Antonick (2013)

[4] Antonick(2013): 『私はジムに、父さんにはお気に入りのパズルはあったかと聞いたが、彼はほとんど即座に「サルとココナッツ」と答えた。マーティンはこの問題がたいそう気に入っていた』

[5] Wolfram Mathworld

[6] KIRKUS REVIEW of The Mathematical Magpie July 27, 1962

[7] The Mathematical Magpie, by Clifton Fadiman, Mathematical Association of America, Springer, 1997

[9] Gardner (2001) p. 4: 『この方程式は試行錯誤で解くには複雑すぎる。また、解を得るのに連分数展開を巧みに用いた標準的な手続きがあるが、長くて骨が折れるものである』

[10] Bogomolny (1996)

[11] Gardner (2001) p. 5: 『この解は時折ケンブリッジ大学の物理学者ポール・ディラック(1902-1984)に帰せられることがあるが、私がディラック教授に宛てた質問の回答によれば、彼はこの解を数学教授の（著名な哲学者アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドの甥でもある）J・H・C・ホワイトヘッド（英語版）から得たという。ホワイトヘッド教授に同じ質問をするとどこかの誰かから教わったとのことだったが、私はここでそれ以上の追求をやめた』

[8] （訳注） $N$ をココナッツの数とすると、ここから1個除いて 1/5 を取り去ると残りは ${\frac {4}{5}}(N-1)$ 個である。これを5回繰り返し、残りから1個除いて5等分すると
$F={\frac {1}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}\left\{{\frac {4}{5}}(N-1)-1\right\}-1\right\}-1\right\}-1\right\}-1\right\}$
が得られる。 $F$ が整数であることと、取り分けの各ステップでの数が全て整数であることは同値である。方程式の解法や性質の詳細についてはディオファントス方程式、特にベズー方程式を参照。

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[注釈 1]

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