ゴレンシュタイン環

可換環論において、Gorenstein 局所環 (Gorenstein local ring) はネーター可換局所環 R であって、R-加群として有限の移入次元をもつものである。同値な条件がたくさんあり、そのうちのいくつかは以下にリストされるが、多くはある種の双対の条件を扱う。

Gorenstein 環は Grothendieck によって導入され、彼が名前を付けたが、その理由は Gorenstein (1952) によって研究された特異平面曲線の双対の性質との関係である（Gorenstein は Gorenstein 環の定義を理解していないと主張することを好んだ）。0次元のケースは Macaulay (1934) によって研究されていた。Serre (1961) と Bass (1963) は Gorenstein 環の概念を公表した。

0次元 Gorenstein 環の非可換環における類似はフロベニウス環と呼ばれる。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。

強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環

定義

Gorenstein 環 は可換環であって素イデアルにおける各局所化が Gorenstein 局所環であるようなものである。Gorenstein 環の概念はより一般的なコーエン・マコーレー環の特別な場合である。

古典的な定義は：

局所コーエン・マコーレー環 R は既約イデアルを生成する極大イデアルにおいて極大R-正則列が存在するときに Gorenstein と呼ばれる。^[要出典]

クルル次元 n のネーター可換局所環 $(R,m,k)$ に対して、以下は同値である。

$R$ は $R$ -加群として移入次元が有限である。
$R$ は $R$ -加群として移入次元が $n$ である。
$i\neq n$ に対して $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ であり $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)$ は $k$ と同型。
ある $i>n$ に対して $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$
すべての $i<n$ に対して $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ であり $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)$ は $k$ と同型。
$R$ は $n$ -次元 Gorenstein 環。